【】2021年高考数学(浙江专用-理科)二轮专题复习讲练：专题二--第2讲.docx

第2讲　三角变换与解三角形
考情解读　(1)高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系或诱导公式结合．
(2)利用正弦定理或余弦定理解三角形或推断三角形的外形、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查．

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)tan 2α＝.
3．三角恒等式的证明方法
(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．
(2)等式的两边同时变形为同一个式子．
(3)将式子变形后再证明．
4．正弦定理
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
sin A＝，sin B＝，sin C＝.
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
5．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
推论：cos A＝，cos B＝，
cos C＝.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，
a2＋b2－c2＝2abcos C.
6．面积公式
S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.
7．解三角形
(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．
(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的状况可能不唯一．
(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．
(4)已知三边，利用余弦定理求解.

热点一　三角变换
例1　(1)已知sin(α＋)＋sin α＝－，－<α<0，则cos(α＋)等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
(2)(2022·课标全国Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，则(　　)
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
思维启迪　(1)利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋π)进行比较．
(2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系．
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)∵sin(α＋)＋sin α＝－，－<α<0，
∴sin α＋cos α＝－，
∴sin α＋cos α＝－，
∴cos(α＋)＝cos αcos－sin αsin
＝－cos α－sin α＝.
(2)由tan α＝得＝，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
∴sin(α－β)＝cos α＝sin(－α)．
∵α∈(0，)，β∈(0，)，
∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，
∴由sin(α－β)＝sin(－α)，得α－β＝－α，
∴2α－β＝.
思维升华　(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和机敏应用，要擅长观看各个角之间的联系，发觉题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要留意正确性，要特殊留意公式中的符号和函数名的变换，防止毁灭张冠李戴的状况．(2)求角问题要留意角的范围，要依据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避开产生增解．
　设函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)若θ是其次象限角，且f()＝0，求的值．
解　(1)f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x＝cos 2xcos－
sin 2xsin＋＝－sin 2x.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，最大值为.
(2)由于f()＝0，
所以－sin θ＝0，即sin θ＝，
又θ是其次象限角，
所以cos θ＝－＝－.
所以＝
＝＝
＝＝＝.
热点二　解三角形
例2　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝2sin A，＋＋＝0.
(1)求边c的大小；
(2)求△ABC面积的最大值．
思维启迪　(1)将＋＋＝0中的边化成角，然后利用和差公式求cos C，进而求c.(2)只需求ab的最大值，可利用cos C＝和基本不等式求解．
解　(1)∵＋＋＝0，
∴ccos B＋2acos C＋bcos C＝0，
∴sin Ccos B＋sin Bcos C＋2sin Acos C＝0，
∴sin A＋2sin Acos C＝0，
∵sin A≠0，
∴cos C＝－，∵C∈(0，π)
∴C＝，∴c＝·sin C＝.
(2)∵cos C＝－＝，
∴a2＋b2＋ab＝3，∴3ab≤3，即ab≤1.
∴S△ABC＝absin C≤.
∴△ABC面积最大值为.
思维升华　三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破．
几种常见变形：
(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，其中R为△ABC外接圆的半径；
(3)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C.
　(1)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则等于(　　)
A. B．2
C. D．2
(2)(2022·江西)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A．3 B.
C. D．3
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)由于asin Asin B＋bcos2A＝a，由正弦定理得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即sin B＝sin A，
即＝，＝＝.
(2)∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.②
由①②得ab＝6.
∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.
热点三　正、余弦定理的实际应用
例3　(2021·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一

种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲动身2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A＝，cos C＝.
(1)求索道AB的长；
(2)问：乙动身多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应把握在什么范围内？
思维启迪　(1)直接求sin B，利用正弦定理求AB.(2)利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙动身后时间t的函数．
解　(1)在△ABC中，由于cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C
＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得
AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙动身t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，
所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×
＝200(37t2－70t＋50)，
由于0≤t≤，即0≤t≤8，
故当t＝ min时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理＝，
得BC＝×sin A＝×＝500(m)．
乙从B动身时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，
所以为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应把握在(单位：m/min)范围内．
思维升华　求解三角形的实际问题，首先要精确     理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次依据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关学问建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要精确     ；最终作答．
　如图，中国渔民在中国南海黄岩岛四周捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发觉，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能准时赶到？(≈1.41，≈1.73，≈2.45)

解　过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.

由于∠CAD＝45°，AC＝10海里，
所以△ACD是等腰直角三角形．
所以AD＝CD＝AC＝×10＝5(海里)．
在Rt△ABD中，由于∠DAB＝60°，
所以BD＝AD×tan 60°＝5×＝5(海里)．
所以BC＝BD－CD＝(5－5)(海里)．
由于中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，
所以中国海监船到达C点所用的时间t1＝＝＝(小时)，某国军舰到达C点所用的时间t2＝＝≈＝0.4(小时)．
由于<0.4，
所以中国海监船能准时赶到．

1．求解恒等变换问题的基本思路
一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：
(1)首先观看角与角之间的关系，留意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心．
(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”．
(3)再次观看代数式的结构特点．
2．解三角形的两个关键点
(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，留意定理的机敏变形，如a＝2Rsin A，sin A＝(其中2R为三角形外接圆的直径)，a2＋b2－c2＝2abcos C等，机敏依据条件求解三角形中的边与角．
(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A＋B)＝sin C，sin ＝cos 等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等．
3．利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象出三角形模型．

真题感悟
1．(2021·浙江)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　C
解析　∵sin α＋2cos α＝，
∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝.
用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α，
∴tan 2α＝＝－.故选C.
2．(2022·江苏)若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________．
答案　
解析　由sin A＋sin B＝2sin C，结合正弦定理得a＋b＝2c.
由余弦定理得cos C＝
＝＝
≥＝，
故≤cos C<1，且3a2＝2b2时取“＝”．
故cos C的最小值为.
押题精练
1．在△ABC中，已知tan ＝sin C，给出以下四个结论：
①＝1；②1<sin A＋sin B≤；③sin2A＋cos2B＝1；④cos2A＋cos2B＝sin2C.
其中确定正确的是(　　)
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
答案　D
解析　依题意，tan ＝＝
＝＝＝sin C.
∵sin C≠0，∴1＋cos(A＋B)＝1，cos(A＋B)＝0.
∵0<A＋B<π，∴A＋B＝，即△ABC是以角C为直角的直角三角形．
对于①，由＝1，得tan A＝tan B，即A＝B，不愿定成立，故①不正确；
对于②，∵A＋B＝，∴sin A＋sin B＝sin A＋cos A＝sin(A＋)，
∴1<sin A＋sin B≤，故②正确；
对于③，∵A＋B＝，∴sin2A＋cos2B＝sin2A＋sin2A＝2sin2A，
其值不确定，故③不正确；
对于④，∵A＋B＝，∴cos2A＋cos2B＝cos2A＋sin2A＝1＝sin2C，故④正确．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，q＝(2a,1)，p＝(2b－c，cos C)，且q∥p.
(1)求sin A的值；
(2)求三角函数式＋1的取值范围．
解　(1)∵q＝(2a,1)，p＝(2b－c，cos C)且q∥p，∴2b－c＝2acos C，
由正弦定理得2sin Acos C＝2sin B－sin C，
又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
∴sin C＝cos Asin C.
∵sin C≠0，∴cos A＝，又∵0<A<π，∴A＝，∴sin A＝.
(2)原式＝＋1＝1－＝1－2cos2C＋2sin Ccos C＝sin 2C－cos 2C＝sin(2C－)，
∵0<C<π，∴－<2C－<π，
∴－<sin(2C－)≤1，
∴－1<sin(2C－)≤，
即三角函数式＋1的取值范围为(－1，]．

(推举时间：60分钟)
一、选择题
1．(2022·浙江)为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象(　　)
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
答案　C
解析　由于y＝sin 3x＋cos 3x＝sin(3x＋)
＝sin[3(x＋)]，又y＝cos 3x＝sin(3x＋)
＝sin[3(x＋)]，所以应由y＝cos 3x的图象向右平移个单位得到．
2．已知α∈(，π)，sin(α＋)＝，则cos α等于(　　)
A．－ B.
C．－或 D．－
答案　A
解析　∵α∈(，π)，∴α＋∈(π，π)，
∵sin(α＋)＝，∴cos(α＋)＝－，
∴cos α＝cos(α＋－)
＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)sin
＝－×＋×＝－.
3．在△ABC中，若＝3，b2－a2＝ac，则cos B的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由正弦定理：＝＝3，
由余弦定理：cos B＝＝＝×－＝－＝.
4．(2021·陕西)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的外形为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案　B
解析　由bcos C＋ccos B＝asin A，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin A＝1，由0<A<π，得A＝，所以△ABC为直角三角形．
5．已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为(　　)
A. B.
C. D.或
答案　A
解析　依题意得sin β＝，cos β＝.留意到sin(α＋β)＝<sin β，因此有α＋β>(否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”冲突)，则cos(α＋β)＝－，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝.
6．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且tan B＝，·＝，则tan B等于(　　)
A. B.－1
C．2 D．2－
答案　D
解析　由题意得，·＝||·||cos B
＝accos B＝，即cos B＝，
由余弦定理，
得cos B＝＝⇒a2＋c2－b2＝1，
所以tan B＝＝2－，故选D.
二、填空题
7．已知tan＝，且－<α<0，则＝________.
答案　－
解析　由tan＝＝， 得tan α＝－.
又－<α<0，可得sin α＝－.
故＝
＝2sin α＝－.
8．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sin Acos C＝3cos Asin C，则b＝________.
答案　4
解析　由sin Acos C＝3cos Asin C得：·＝3··，
∴a2＋b2－c2＝3(b2＋c2－a2)，a2－c2＝，
解方程组：，∴b＝4.
9．已知0<α<<β<π，cos(β－)＝，sin(α＋β)＝，则cos(α＋)＝________.
答案　
解析　由于0<α<<β<π，
所以<β－<，<α＋β<.
所以sin(β－)>0，cos(α＋β)<0.
由于cos(β－)＝，sin(α＋β)＝，
所以sin(β－)＝，cos(α＋β)＝－.
所以cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]
＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)
＝－×＋×＝.
10．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发觉张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发觉张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米．

答案　400
解析　如题图，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.由于∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°.所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.
由正弦定理，可得＝.
所以＝，得AD＝400(米)．
在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理，可得
AC2＝AD2＋CD2－2×AD×CD×cos∠ADC
＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13，解得AC＝400(米)．
故索道AC的长为400米．
三、解答题
11．(2022·安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sin的值．
解　(1)由于A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B.
由正、余弦定理得a＝2b·.
由于b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.
(2)由余弦定理得cos A＝＝＝－.
由于0<A<π，
所以sin A＝＝＝.
故sin＝sin Acos ＋cos Asin＝×＋×＝.
12．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ωx－)＋1(ω>0)的最小正周期是π.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)在[，]上的最大值和最小值．
解　(1)f(x)＝4cos ωx·sin(ωx－)＋1
＝2sin ωxcos ωx－2cos2ωx＋1
＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin(2ωx－)．
最小正周期是＝π，所以，ω＝1，
从而f(x)＝2sin(2x－)．
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z.
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
(2)当x∈[，]时，2x－∈[，]，
f(x)＝2sin(2x－)∈[，2]，
所以f(x)在[，]上的最大值和最小值分别为2，.
13．已知角A、B、C是△ABC的三个内角，若向量m＝(1－cos(A＋B)，cos)，n＝(，cos)，且m·n＝.
(1)求tan Atan B的值；
(2)求的最大值．
解　(1)m·n＝－cos(A＋B)＋cos2
＝－cos Acos B＋sin Asin B＝，
∴cos Acos B＝9sin Asin B得tan Atan B＝.
(2)tan(A＋B)＝＝(tan A＋tan B)≥·2＝.
(∵tan Atan B＝>0，
∴A，B均是锐角，即其正切值均为正)
＝＝tan C
＝－tan(A＋B)≤－，
所求最大值为－.