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第1讲 三角函数的图象与性质
考情解读 (1)以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性．(2)考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的力气，是高考的必考点．
1．三角函数定义、同角关系与诱导公式
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
(3)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
2．三角函数的图象及常用性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
单调性
在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减
在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增
对称性
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)
对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)
对称中心：(，0)(k∈Z)
3.三角函数的两种常见变换
(1)y＝sin x
y＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
(2)y＝sin x
y＝sin ωx
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0).
热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三
角函数的基本关系
例1 (1)点P从(1,0)动身，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
A．(－，) B．(－，－)
C．(－，－) D．(－，)
(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则的值为________．
思维启迪 (1)精确 把握三角函数的定义．(2)利用三角函数定义和诱导公式．
答案 (1)A (2)－
解析 (1)设Q点的坐标为(x，y)，
则x＝cos＝－，y＝sin＝.
∴Q点的坐标为(－，)．
(2)原式＝＝tan α.
依据三角函数的定义，
得tan α＝＝－，
∴原式＝－.
思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，经常借助三角函数的定义求解．应用定义时，留意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．
(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循确定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
(1)如图，以Ox为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为，则＝________.
(2)已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A. B. C. D.
答案 (1) (2)D
解析 (1)由三角函数定义，
得cos α＝－，sin α＝，
∴原式＝＝
＝2cos2α＝2×2＝.
(2)tan θ＝＝＝－1，
又sin >0，cos <0，
所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝.
热点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式
例2 (1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为( )
A．y＝sin 2x B．y＝cos 2x
C．y＝sin(2x＋) D．y＝sin(2x－)
(2)若函数y＝cos 2x＋sin 2x＋a在[0，]上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．
思维启迪 (1)先依据图象确定函数f(x)的解析式，再将得到的f(x)中的“x”换成“x－”即可．
(2)将零点个数转换成函数图象的交点个数．
答案 (1)D (2)(－2，－1]
解析 (1)由图知，A＝1，＝－，故T＝π＝，
所以ω＝2，又函数图象过点(，1)，代入解析式中，
得sin(＋φ)＝1，又|φ|<，故φ＝.
则f(x)＝sin(2x＋)向右平移后，
得到y＝sin[2(x－)＋)＝sin(2x－)，选D.
(2)由题意可知y＝2sin(2x＋)＋a，
该函数在[0，]上有两个不同的零点，即y＝－a，y＝2sin(2x＋)在[0，]上有两个不同的交点．
结合函数的图象可知1≤－a<2，所以－2<a≤－1.
思维升华 (1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常接受待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常依据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，假如x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
(1)如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0)，∠PQR＝，M为QR的中点，PM＝2，则A的值为( )
A. B.
C．8 D．16
(2)若将函数y＝tan(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋)的图象重合，则ω的最小正值为( )
A. B.
C. D.
答案 (1)B (2)D
解析 (1)由题意设Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)．
则M(，－)，由两点间距离公式得，
PM＝ ＝2，解得a＝8，由此得，＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝，
由P(2,0)得φ＝－，代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)得，
f(x)＝Asin(x－)，
从而f(0)＝Asin(－)＝－8，得A＝.
(2)y＝tan(ωx＋)的图象向右平移，得到y＝tan(ωx＋－)的图象，与y＝tan(ωx＋)重合，得－＝kπ＋，故ω＝－6k＋，k∈Z，∴ω的最小正值为.
热点三 三角函数的性质
例3 设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈[0，]时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对称轴方程．
思维启迪 先化简函数解析式，然后争辩函数性质(可结合函数简图)．
解 (1)f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a＝sin(2x＋)＋1＋a，
则f(x)的最小正周期T＝＝π，
且当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)时f(x)单调递增，即kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以[kπ－，kπ＋](k∈Z)为f(x)的单调递增区间．
(2)当x∈[0，]时⇒≤2x＋≤，
当2x＋＝，即x＝时sin(2x＋)＝1.
所以f(x)max＝＋1＋a＝2⇒a＝1－.
由2x＋＝kπ＋得x＝＋(k∈Z)，
故y＝f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
思维升华 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路
第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；
其次步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．
已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象；若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．
解 (1)由题意得：f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－
＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin(2ωx－)，
由周期为π，得ω＝1，得f(x)＝2sin(2x－)，
函数的单调增区间为2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
整理得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间是[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y＝2sin 2x＋1的图象，
所以g(x)＝2sin 2x＋1，
令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，
所以在[0，π]上恰好有两个零点，
若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π＋＝.
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)，或y＝
Atan(ωx＋φ))的单调区间
(1)将ω化为正．
(2)将ωx＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解．
2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的图象求解析式
(1)A＝，
B＝.
(2)由函数的周期T求ω，ω＝.
(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴确定经过图象的最高点或最低点．
4．求三角函数式最值的方法
(1)将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，进而结合三角函数的性质求解．
(2)将三角函数式化为关于sin x，cos x的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解．
5．特殊提示
进行三角函数的图象变换时，要留意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.
真题感悟
1．(2022·辽宁)将函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )
A．在区间[，]上单调递减
B．在区间[，]上单调递增
C．在区间[－，]上单调递减
D．在区间[－，]上单调递增
答案 B
解析 y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度得到y＝3sin[2(x－)＋]＝3sin(2x－π)．
令2kπ－≤2x－π≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，则y＝3sin(2x－π)的增区间为[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z.
令k＝0得其中一个增区间为[，π]，故B正确．
画出y＝3sin(2x－π)在[－，]上的简图，如图，可知y＝3sin(2x－π)在[－，]上不具有单调性，
故C，D错误．
2．(2022·北京)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
答案 π
解析 ∵f(x)在上具有单调性，
∴≥－，
∴T≥.
∵f＝f，
∴f(x)的一条对称轴为x＝＝.
又∵f＝－f，
∴f(x)的一个对称中心的横坐标为＝.
∴T＝－＝，∴T＝π.
押题精练
1．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，其中M(m,0)，N(n,2)，P(π，0)，且mn<0，则f(x)在下列哪个区间中是单调的( )
A．(0，) B．(，)
C．(，) D．(，π)
答案 B
解析 ∵mn<0，所以当左右移动图象，当图象过原点时，即M点在原点时，此时T＝π，则ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x)，在(，)上为减函数，(0，)上为增函数；当图象的最高点在y轴上时，即N点在y轴上，T＝π，ω＝，∴f(x)＝2sin(x)，在(0，)上是减函数，(，π)上为增函数．所以f(x)在(，)上是单调的．
2．已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－(ω>0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.
(1)求f(x)的表达式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
解 (1)f(x)＝sin 2ωx＋×－
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin(2ωx＋)，
由题意知，最小正周期T＝2×＝，
T＝＝＝，所以ω＝2，∴f(x)＝sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin(4x－)的图象，
再将所得图象全部点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到y＝sin(2x－)的图象．
所以g(x)＝sin(2x－)．
令2x－＝t，∵0≤x≤，∴－≤t≤.
g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有一个实数解，
即函数g(t)＝sin t与y＝－k在区间[－，]上有且只有一个交点．如图，
由正弦函数的图象可知－≤－k<或－k＝1.
∴－<k≤或k＝－1.
(推举时间：50分钟)
一、选择题
1．如图，为了争辩钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(此时t＝0)正常开头走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
答案 C
解析 由三角函数的定义可知，初始位置点P0的弧度为，由于秒针每秒转过的弧度为－，针尖位置P到坐标原点的距离为1，故点P的纵坐标y与时间t的函数关系可能为y＝sin.
2．(2022·四川)为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上全部的点( )
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度
D．向右平行移动1个单位长度
答案 A
解析 y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin 2(x＋)的图象，即函数y＝sin(2x＋1)的图象．
3．函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0且|φ|<)在区间[，]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 依题意知＝－，∴T＝π＝，∴ω＝2，将点(，1)代入y＝sin(2x＋φ)得sin(＋φ)＝1，又|φ|<，φ＝，故y＝sin(2x＋)，与y轴交点纵坐标为.
4．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且·＝0，则A·ω等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题中图象知＝－，
所以T＝π，所以ω＝2.
则M，N
由·＝0，得＝A2，
所以A＝，所以A·ω＝.
5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中|φ|<π，若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，且f()<f(π)，则下列结论正确的是( )
A．f(π)＝－1
B．f()>f()
C．f(x)是奇函数
D．f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)
答案 D
解析 由f(x)≤|f()|恒成立知x＝是函数的对称轴，即2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又f()<f(π)，所以sin(π＋φ)<sin(2π＋φ)，即－sin φ<sin φ.所以sin φ>0，得φ＝，即f(x)＝sin(2x＋)，
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即函数的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
6．已知A，B，C，D，E是函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<)一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A(－，0)，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为( )
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
答案 A
解析 由于A，B，C，D，E是函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<)一个周期内的图象上的五个点，A(－，0)，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，所以T＝4×(＋)＝π，所以ω＝2，
由于A(－，0)，所以f(－)＝sin(－＋φ)＝0,0<φ<，φ＝.
二、填空题
7．(2022·安徽)若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
答案
解析 ∵函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋]＝sin(2x＋－2φ)，
又∵g(x)是偶函数，∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)．
∴φ＝－－(k∈Z)．
当k＝－1时，φ取得最小正值.
8．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，若x1，x2∈(－，)，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.
答案
解析 观看图象可知，A＝1，T＝π，∴ω＝2，
f(x)＝sin(2x＋φ)．
将(－，0)代入上式得sin(－＋φ)＝0，由已知得φ＝，故f(x)＝sin(2x＋)．
函数图象的对称轴为x＝＝.
又x1，x2∈(－，)，且f(x1)＝f(x2)，
∴f(x1＋x2)＝f(2×)＝f()
＝sin(2×＋)＝.
9．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．
答案 [－，3]
解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x－)，那么当x∈[0，]时，－≤2x－≤，
所以－≤sin(2x－)≤1，故f(x)∈[－，3]．
10．给出命题：①函数y＝2sin(－x)－cos(＋x)(x∈R)的最小值等于－1；②函数y＝sin πxcos πx是最小正周期为2的奇函数；③函数y＝sin(x＋)在区间[0，]上单调递增的；④若sin 2α<0，cos α－sin α<0，则α确定为其次象限角．则真命题的序号是________．
答案 ①④
解析 对于①，函数y＝2sin(－x)－cos(＋x)
＝sin(－x)，所以其最小值为－1；
对于②，函数y＝sin πxcos πx＝sin 2πx是奇函数，但其最小正周期为1；
对于③，函数y＝sin(x＋)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减；
对于④，由⇒cos α<0，sin α>0，所以α确定为其次象限角．
三、解答题
11．已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x＝时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若f(α＋)＝，求sin α.
解 (1)f(x)的最小正周期T＝.
(2)由函数的最大值为4，可得A＝4.
所以f(x)＝4sin(3x＋φ)．
当x＝时，4sin(3×＋φ)＝4，
所以sin(＋φ)＝1，
所以φ＝2kπ＋，k∈Z，
由于0<φ<π，所以φ＝.
所以f(x)的解析式是f(x)＝4sin(3x＋)．
(3)由于f(α＋)＝，
故sin(2α＋＋)＝.
所以cos 2α＝，即1－2sin2α＝，
故sin2α＝.所以sin α＝±.
12．设函数f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(，1)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点(，0)，求函数f(x)在x∈[0，]上的值域．
解 (1)由于f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin(2ωx－)＋λ，
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得
sin(2ωπ－)＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．
又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点(，0)，得f()＝0，
即λ＝－2sin(×－)＝－2sin＝－，
即λ＝－.
故f(x)＝2sin(x－)－，
∵x∈[0，]，∴x－∈[－，]，
∴函数f(x)的值域为[－1－，2－]．
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