1、第1讲三角函数的图象与性质考情解读(1)以图象为载体,考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性(2)考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值,重点考查分析、处理问题的力气,是高考的必考点1三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义:设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin y,cos x,tan .各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦(2)同角关系:sin2cos21,tan .(3)诱导公式:在,kZ的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”2三角函数的图象及常用性质函数ysin xycos xytan x图象单调性在2k,2k(kZ)上单
2、调递增;在2k,2k(kZ)上单调递减在2k,2k(kZ)上单调递增;在2k,2k(kZ)上单调递减在(k,k)(kZ)上单调递增对称性对称中心:(k,0)(kZ);对称轴:xk(kZ)对称中心:(k,0)(kZ);对称轴:xk(kZ)对称中心:(,0)(kZ)3.三角函数的两种常见变换(1)ysin xysin(x) ysin(x)yAsin(x)(A0,0)(2)ysin xysin xysin(x)yAsin(x)(A0,0).热点一三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系例1(1)点P从(1,0)动身,沿单位圆x2y21逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q点的坐标为()A(,) B
3、(,)C(,) D(,)(2)已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边上一点P(4,3),则的值为_思维启迪(1)精确把握三角函数的定义(2)利用三角函数定义和诱导公式答案(1)A(2)解析(1)设Q点的坐标为(x,y),则xcos,ysin.Q点的坐标为(,)(2)原式tan .依据三角函数的定义,得tan ,原式.思维升华(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等),经常借助三角函数的定义求解应用定义时,留意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上点的位置无关(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利用同角三角函数的关系化简过程要遵循确定的原则,如切
4、化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等(1)如图,以Ox为始边作角(00,cos 0,0,|)的部分图象如图所示,则将yf(x)的图象向右平移个单位后,得到的图象解析式为()Aysin 2x Bycos 2xCysin(2x) Dysin(2x)(2)若函数ycos 2xsin 2xa在0,上有两个不同的零点,则实数a的取值范围为_思维启迪(1)先依据图象确定函数f(x)的解析式,再将得到的f(x)中的“x”换成“x”即可(2)将零点个数转换成函数图象的交点个数答案(1)D(2)(2,1解析(1)由图知,A1,故T,所以2,又函数图象过点(,1),代入解析式中,得sin()1,又|,故.则f(x
5、)sin(2x)向右平移后,得到ysin2(x)sin(2x),选D.(2)由题意可知y2sin(2x)a,该函数在0,上有两个不同的零点,即ya,y2sin(2x)在0,上有两个不同的交点结合函数的图象可知1a2,所以20,0)的图象求解析式时,常接受待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定;确定常依据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的,假如x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向(1)如图,函数
6、f(x)Asin(x)(其中A0,0,|)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0),PQR,M为QR的中点,PM2,则A的值为()A. B.C8 D16(2)若将函数ytan(x)(0)的图象向右平移个单位长度后,与函数ytan(x)的图象重合,则的最小正值为()A. B.C. D.答案(1)B(2)D解析(1)由题意设Q(a,0),R(0,a)(a0)则M(,),由两点间距离公式得,PM 2,解得a8,由此得,826,即T12,故,由P(2,0)得,代入f(x)Asin(x)得,f(x)Asin(x),从而f(0)Asin()8,得A.(2)ytan(x)的图象向右平移,得到ytan(x
7、)的图象,与ytan(x)重合,得k,故6k,kZ,的最小正值为.热点三三角函数的性质例3设函数f(x)2cos2xsin 2xa(aR)(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)当x0,时,f(x)的最大值为2,求a的值,并求出yf(x)(xR)的对称轴方程思维启迪先化简函数解析式,然后争辩函数性质(可结合函数简图)解(1)f(x)2cos2xsin 2xa1cos 2xsin 2xasin(2x)1a,则f(x)的最小正周期T,且当2k2x2k(kZ)时f(x)单调递增,即kxk(kZ)所以k,k(kZ)为f(x)的单调递增区间(2)当x0,时2x,当2x,即x时sin(2x)
8、1.所以f(x)max1a2a1.由2xk得x(kZ),故yf(x)的对称轴方程为x,kZ.思维升华函数yAsin(x)的性质及应用的求解思路第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x)B的形式;其次步:把“x”视为一个整体,借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题已知函数f(x)2sin xcos x2sin2x(0)的最小正周期为.(1)求函数f(x)的单调增区间;(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数yg(x)的图象;若yg(x)在0,b(b0)上至少含有10个零点,求b的最小值解(1)
9、由题意得:f(x)2sin xcos x2sin2xsin 2xcos 2x2sin(2x),由周期为,得1,得f(x)2sin(2x),函数的单调增区间为2k2x2k,kZ,整理得kxk,kZ,所以函数f(x)的单调增区间是k,k,kZ.(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到y2sin 2x1的图象,所以g(x)2sin 2x1,令g(x)0,得xk或xk(kZ),所以在0,上恰好有两个零点,若yg(x)在0,b上有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可,即b的最小值为4.1求函数yAsin(x)(或yAcos(x),或yAtan(x)的单调区间(
10、1)将化为正(2)将x看成一个整体,由三角函数的单调性求解2已知函数yAsin(x)B(A0,0)的图象求解析式(1)A,B.(2)由函数的周期T求,.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求.3函数yAsin(x)的对称轴确定经过图象的最高点或最低点4求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为yAsin(x)B的形式,进而结合三角函数的性质求解(2)将三角函数式化为关于sin x,cos x的二次函数的形式,进而借助二次函数的性质求解5特殊提示进行三角函数的图象变换时,要留意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.真题感悟1(2022辽宁)将函数y3sin(2x)的图象向右平移个单位长度,所
11、得图象对应的函数()A在区间,上单调递减B在区间,上单调递增C在区间,上单调递减D在区间,上单调递增答案B解析y3sin(2x)的图象向右平移个单位长度得到y3sin2(x)3sin(2x)令2k2x2k,kZ,得kxk,kZ,则y3sin(2x)的增区间为k,k,kZ.令k0得其中一个增区间为,故B正确画出y3sin(2x)在,上的简图,如图,可知y3sin(2x)在,上不具有单调性,故C,D错误2(2022北京)设函数f(x)Asin(x)(A,是常数,A0,0)若f(x)在区间上具有单调性,且fff,则f(x)的最小正周期为_答案解析f(x)在上具有单调性,T.ff,f(x)的一条对称轴
12、为x.又ff,f(x)的一个对称中心的横坐标为.T,T.押题精练1函数f(x)2sin(x)(0)的部分图象如图,其中M(m,0),N(n,2),P(,0),且mn0,则f(x)在下列哪个区间中是单调的()A(0,) B(,)C(,) D(,)答案B解析mn0),直线xx1,xx2是yf(x)图象的任意两条对称轴,且|x1x2|的最小值为.(1)求f(x)的表达式;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数yg(x)的图象,若关于x的方程g(x)k0在区间0,上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围解(1)f(x)sin
13、2xsin 2xcos 2xsin(2x),由题意知,最小正周期T2,T,所以2,f(x)sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到ysin(4x)的图象,再将所得图象全部点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到ysin(2x)的图象所以g(x)sin(2x)令2xt,0x,t.g(x)k0在区间0,上有且只有一个实数解,即函数g(t)sin t与yk在区间,上有且只有一个交点如图,由正弦函数的图象可知k或k1.0且|)在区间,上单调递减,且函数值从1减小到1,那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为()A. B.C. D.答案A解析依题意知,T,2,将点(,1)代入ysin(2x
14、)得sin()1,又|0,0,|)在一个周期内的图象如图所示,M,N分别是这段图象的最高点与最低点,且0,则A等于()A. B. C. D.答案C解析由题中图象知,所以T,所以2.则M,N由0,得A2,所以A,所以A.5已知函数f(x)sin(2x),其中|,若f(x)|f()|对xR恒成立,且f()f()Cf(x)是奇函数Df(x)的单调递增区间是k,k(kZ)答案D解析由f(x)|f()|恒成立知x是函数的对称轴,即2k,kZ,所以k,kZ,又f()f(),所以sin()sin(2),即sin 0,得,即f(x)sin(2x),由2k2x2k,kZ,得kxk,kZ,即函数的单调递增区间是k
15、,k(kZ)6已知A,B,C,D,E是函数ysin(x)(0,00,0)一个周期内的图象上的五个点,A(,0),B为y轴上的点,C为图象上的最低点,E为该函数图象的一个对称中心,B与D关于点E对称,在x轴上的投影为,所以T4(),所以2,由于A(,0),所以f()sin()0,00,0,|0)和g(x)3cos(2x)的图象的对称中心完全相同,若x0,则f(x)的取值范围是_答案,3解析由两三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故2,所以f(x)3sin(2x),那么当x0,时,2x,所以sin(2x)1,故f(x),310给出命题:函数y2sin(x)cos(x)(xR)的最
16、小值等于1;函数ysin xcos x是最小正周期为2的奇函数;函数ysin(x)在区间0,上单调递增的;若sin 20,cos sin 0,则确定为其次象限角则真命题的序号是_答案解析对于,函数y2sin(x)cos(x)sin(x),所以其最小值为1;对于,函数ysin xcos xsin 2x是奇函数,但其最小正周期为1;对于,函数ysin(x)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减;对于,由cos 0,所以确定为其次象限角三、解答题11已知函数f(x)Asin(3x)(A0,x(,),0)在x时取得最大值4.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的解析式;(3)若f(),求s
17、in .解(1)f(x)的最小正周期T.(2)由函数的最大值为4,可得A4.所以f(x)4sin(3x)当x时,4sin(3)4,所以sin()1,所以2k,kZ,由于0,所以.所以f(x)的解析式是f(x)4sin(3x)(3)由于f(),故sin(2).所以cos 2,即12sin2,故sin2.所以sin .12设函数f(x)sin2x2sin xcos xcos2x(xR)的图象关于直线x对称,其中,为常数,且(,1)(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若yf(x)的图象经过点(,0),求函数f(x)在x0,上的值域解(1)由于f(x)sin2x2sin xcos xcos2xcos 2xsin 2x2sin(2x),由直线x是yf(x)图象的一条对称轴,可得sin(2)1,所以2k(kZ),即(kZ)又(,1),kZ,所以k1,故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的图象过点(,0),得f()0,即2sin()2sin,即.故f(x)2sin(x),x0,x,函数f(x)的值域为1,2