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第一章测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中，正确的是( )
A．其次象限的角是钝角
B．第三象限的角必大于其次象限的角
C．－831°是其次象限角
D．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角
解析 A、B均错，－831°＝－720°－111°是第三象限的角，C错，∴选D.
答案 D
2．若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan的值为( )
A．0 B.
C．1 D.
解析 由题意，得3a＝9，得a＝2，∴tan＝tan＝tan＝.
答案 D
3．若|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则的终边在( )
A．第一、三象限
B．其次、四象限
C．第一、三象限或x轴上
D．其次、四象限或x轴上
解析 由题意知，cosθ≥0，tanθ≤0，所以θ在x轴上或在第四象限，故在其次、四象限或在x轴上．
答案 D
4．假如函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T，且当x＝2时取得最大值，那么( )
A．T＝2，θ＝ B．T＝1，θ＝π
C．T＝2，θ＝π D．T＝1，θ＝
解析 由题意知T＝＝2，又当x＝2时，有2π＋θ＝2kπ＋(k∈Z)，∴θ＝.
答案 A
5．若sin＝－，且π<x<2π，则x等于( )
A.π B.π
C.π D.π
解析 sin＝cosx＝－，
又x∈(π，2π)，∴x＝.
答案 B
6．已知a是实数，而函数f(x)＝1＋asinax的图象不行能是( )
解析 三角函数的周期为T＝，当振幅大于1时，
∵|a|>1，∴T<2π.∵D的振幅大于1，但周期反而大于2π，∴D不符合要求．
答案 D
7．将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y＝sin的图象，则φ＝( )
A. B.
C. D.
解析 当φ＝时，则y＝sin
＝sin＝sin.
答案 D
8．若tanθ＝2，则的值为( )
A．0 B．1
C. D.
解析 ∵tanθ＝2，∴＝＝＝.
答案 C
9．函数f(x)＝的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
解析 要使f(x)有意义，必需使即
x≠kπ＋，且x≠(2k＋1)π(k∈Z)，
∴函数f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝是奇函数．
答案 A
10．函数f(x)＝－cosx在(0，＋∞)内( )
A．没有零点
B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点
D．有无穷多个零点
解析 在同一坐标系里分别作出y＝和y＝cosx的图象易知，f(x)＝0有且仅有一个零点．
答案 B
11．已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg＝n，则lgsinA的值是( )
A．m＋ B．m－n
C. D.(m－n)
解析 ∵m－n＝lg(1＋cosA)－lg
＝lg(1＋cosA)＋lg(1－cosA)
＝lg(1＋cosA)(1－cosA)＝lgsin2A＝2lgsinA，
∴lgsinA＝(m－n)，故选D.
答案 D
12．函数f(x)＝3sin的图象为C，
①图象C关于直线x＝π对称；
②函数f(x)在区间内是增函数；
③由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C，其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①把x＝π代入f(x)知，
f＝3sin＝3sin＝－3.
∴x＝π是函数f(x)的对称轴，∴①正确．
②由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得增区间为
(k∈Z)．令k＝0得增区间，∴②正确．
③依题意知y＝3sin2＝3sin，
∴③不正确．应选C.
答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．已知sin＝，α∈，则tanα＝________.
解析 sin＝cosα＝，∵α∈，∴sinα＝－，∴tanα＝＝－2.
答案 －2
14．函数y＝3cosx(0≤x≤π)的图象与直线y＝－3及y轴围成的图形的面积为________．
解析 如图，由于y＝3cosx(0≤x≤π)的图象关于点对称，所以区域(Ⅰ)与区域(Ⅱ)也关于点成中心对称图形，故区域(Ⅰ)的面积为矩形ABCD的面积的一半，即×π×6＝3π.
答案 3π
15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.
解析 由图知，＝－＝，∴T＝π.
又T＝＝π，∴ω＝.
答案
16．给出下列命题：
①函数y＝cos是奇函数；
②存在实数x，使sinx＋cosx＝2；
③若α，β是第一象限角且α<β，则tanα<tanβ；
④x＝是函数y＝sin的一条对称轴；
⑤函数y＝sin的图象关于点成中心对称．
其中正确命题的序号为__________．
解析 ①y＝cos＝－sinx是奇函数．
②由于sinx，cosx不能同时取最大值1，所以不存在实数x使sinx＋cosx＝2成立．
③α＝，β＝，则tanα＝，tanβ＝tan＝tan＝，tanα>tanβ，∴③不成立．
④把x＝代入函数y＝sin，得y＝－1.
∴x＝是函数图象的一条对称轴．
⑤由于y＝sin图象的对称中心在图象上，而不在图象上，所以⑤不成立．
答案 ①④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知方程sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．
解 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，
∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)．
∴－sin(π－α)＝2cos(－α)．
∴sinα＝－2cosα.
可知cosα≠0.
∴原式＝
＝＝＝－.
18．(12分)在△ABC中，sinA＋cosA＝，求tanA的值．
解 ∵sinA＋cosA＝，①
两边平方，得2sinAcosA＝－，
从而知cosA<0，∴∠A∈.
∴sinA－cosA＝
＝ ＝.②
由①②，得sinA＝，cosA＝，
∴tanA＝＝－2－.
19．(12分)已知f(x)＝sin＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调减区间；
(3)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x(x∈R)的图象经过怎样变换得到？
解 (1)T＝＝π.
(2)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以所求的单调减区间为
(k∈Z)．
(3)把y＝sin2x的图象上全部点向左平移个单位，再向上平移个单位，即得函数f(x)＝sin＋的图象．
20．(12分)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象过点P，图象与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求函数解析式；
(2)求函数的最大值，并写出相应的x的值；
(3)求使y≤0时，x的取值范围．
解 (1)由题意知＝－＝，∴T＝π.
∴ω＝＝2，由ω·＋φ＝0，得φ＝－，又A＝5，
∴y＝5sin.
(2)函数的最大值为5，此时2x－＝2kπ＋(k∈Z)．
∴x＝kπ＋(k∈Z)．
(3)∵5sin≤0，
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)．
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
21．(12分)已知cos＝cos，sin
＝－sin，且0<α<π，0<β<π，求α，β的值．
解 cos＝cos，即sinα＝sinβ①
sin＝－sin，即cosα＝cosβ②
①2＋②2得
2＝sin2α＋3cos2α.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝.∴cosα＝±.
又∵α∈(0，π)，∴α＝，或α＝π.
(1)当α＝时，cosα＝，cosβ＝cosα＝，
又β∈(0，π)，∴β＝.
(2)当α＝时，cosα＝－，
cosβ＝cosα＝－，
又β∈(0，π)，∴β＝.
综上，α＝，β＝，或α＝，β＝.
22．(12分)已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数的最大值和最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数)．
解 (1)当θ＝－时，
f(x)＝x2－x－1＝2－.
∵x∈[－1，]，
∴当x＝时，f(x)的最小值为－，
当x＝－1时，f(x)的最大值为.
(2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数．它的图象的对称轴为x＝－tanθ.
∵y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，
∴－tanθ≤－1，或－tanθ≥，即tanθ≥1，或tanθ≤－.
∵θ∈，
∴θ的取值范围是∪.
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