资源描述
第1讲 直线与圆
考情解读 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特殊是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以选择题、填空题的形式毁灭，有时也会毁灭解答题，多考查其几何图形的性质或方程学问．
1．直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．
(4)截距式：＋＝1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
2．直线的两种位置关系
当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2.
(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
提示 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽视．
3．三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：|AB|＝.
(2)点到直线的距离：d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程：Ax＋By＋C＝0)．
(3)两平行线间的距离：d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．
提示 应用两平行线间距离公式时，留意两平行线方程中x，y的系数应对应相等．
4．圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
5．直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数推断法与几何推断法．
(2)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数推断法与几何推断法.
热点一 直线的方程及应用
例1 (1)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是( )
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0
D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0
(2) “m＝1”是“直线x－y＝0和直线x＋my＝0相互垂直”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
思维启迪 (1)不要忽视直线过原点的状况；(2)分别考虑充分性和必要性．
答案 (1)B (2)C
解析 (1)当直线过原点时方程为2x－5y＝0，不过原点时，可设出其截距式为＋＝1，再由过点(5,2)即可解出2x＋y－12＝0.
(2)由于m＝1时，两直线方程分别是x－y＝0和x＋y＝0，两直线的斜率分别是1和－1，两直线垂直，所以充分性成立；当直线x－y＝0和直线x＋my＝0相互垂直时，有1×1＋(－1)×m＝0，所以m＝1，所以必要性成立．故选C.
思维升华 (1)要留意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若毁灭斜率不存在的状况，可考虑用数形结合的方法去争辩．
已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为( )
A．y＝2x＋4
B．y＝x－3
C．x－2y－1＝0
D．3x＋y＋1＝0
答案 C
解析 由题意可知，直线AC和直线BC关于直线y＝x＋1对称．设点B(－1,2)关于直线y＝x＋1的对称点为B′(x0，y0)，则有⇒，即B′(1,0)．由于B′(1,0)在直线AC上，所以直线AC的斜率为k＝＝，
所以直线AC的方程为y－1＝(x－3)，
即x－2y－1＝0.故C正确．
热点二 圆的方程及应用
例2 (1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为( )
A．(x－2)2＋(y±2)2＝3
B．(x－2)2＋(y±)2＝3
C．(x－2)2＋(y±2)2＝4
D．(x－2)2＋(y±)2＝4
(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2：2x－y－4＝0相切，则圆M的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝4
B．(x＋1)2＋y2＝4
C．x2＋(y－1)2＝4
D．x2＋(y＋1)2＝4
思维启迪 (1)确定圆心在直线x＝2上，然后待定系数法求方程；(2)依据弦长为2及圆与l2相切列方程组．
答案 (1)D (2)B
解析 (1)由于圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±，所以选D.
(2)由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a>－2，半径为r，得
解得满足条件的一组解为
所以圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4.故选B.
思维升华 圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要依据所给条件选取适当的方程形式．解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过争辩圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
(1)已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过点A(－1,0)的直线l与圆C相交于P、Q两点，若|PQ|＝2，则直线l的方程为( )
A．x＝－1或4x＋3y－4＝0
B．x＝－1或4x－3y＋4＝0
C．x＝1或4x－3y＋4＝0
D．x＝1或4x＋3y－4＝0
(2)已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________________．
答案 (1)B (2)x2＋(y－1)2＝10
解析 (1)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，线段PQ的中点为M，由于|PQ|＝2，
易得|CM|＝1.
又|CM|＝＝1，解得k＝，此时直线l的方程为y＝(x＋1)．故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.故选B.
(2)设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，则r2＝d2＋()2＝10，故圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.
热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系
例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，
点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的
半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
思维启迪 (1)先求出圆C的圆心坐标，再利用几何法求出切线斜率；(2)将|MA|＝2|MO|化为M点坐标满足的条件后，可知点M是两圆的交点．
解 (1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和直线y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，
于是切线的斜率必存在．
设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，
由题意，＝1，解得k＝0或－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)由于圆心在直线y＝2x－4上，
所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，由于|MA|＝2|MO|，
所以＝2 ，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
所以圆心M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，
则2－1≤|CD|≤2＋1，
即1≤≤3.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；
由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以圆心C的横坐标a的取值范围为.
思维升华 (1)争辩直线与圆及圆与圆的位置关系时，要留意数形结合，充分利用圆的几何性质查找解题途径，削减运算量．争辩直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的推断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．
(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理．
(1)(2022·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
(2)两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为( )
A．－6 B．－3 C．－3 D．3
答案 (1)4± (2)C
解析 (1)圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.由于△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以()2＋12＝22，解得a＝4±.
(2)两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C1：(x＋a)2＋y2＝4，
圆C2：x2＋(y－b)2＝1，
所以|C1C2|＝＝2＋1＝3，
即a2＋b2＝9.
由()2≤，得(a＋b)2≤18，所以－3≤a＋b≤3，当且仅当“a＝b”时取“＝”．所以选C.
1．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和接受的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的状况，尤其在选择点斜式、斜截式时要留意斜率不存在的状况．
2．确定圆的方程时，常用到圆的几共性质：
(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)；
(2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(3)圆心在任一弦的中垂线上；
(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称．
3．直线与圆中常见的最值问题
圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．
4．过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.
5．两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程，即为两圆公共弦所在的直线方程．
真题感悟
1．(2022·江苏)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
答案
解析 圆心为(2，－1)，半径r＝2.
圆心到直线的距离d＝＝，
所以弦长为2＝2＝.
2．(2022·课标全国Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
答案 [－1,1]
解析
如图，过点M作⊙O的切线，
切点为N，连接ON.
M点的纵坐标为1，
MN与⊙O相切于点N.
设∠OMN＝θ，则θ≥45°，
即sin θ≥，
即≥.
而ON＝1，∴OM≤.
∵M为(x0,1)，∴≤，
∴x≤1，∴－1≤x0≤1，
∴x0的取值范围为[－1,1]．
押题精练
1．在直角坐标系xOy中，已知A(－1,0)，B(0,1)，则满足|PA|2－|PB|2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为________．
答案 2
解析 设P(x，y)，则由|PA|2－|PB|2＝4，
得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，∴x＋y＝2，
∴满足条件的点P的个数转化为直线x＋y＝2和圆x2＋y2＝4的交点个数，
∵＝<2，
∴直线与圆相交，∴点P有2个．
2．假如圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，则实数a的取值范围是____________________．
答案 －2<a<0或0<a<2
解析 将圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0变形为(x－a)2＋(y－a)2＝4，可知圆心为C(a，a)，半径为r＝2.圆O：x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径为R＝2.当两圆总相交时|R－r|<|OC|<r＋R，即0<<4，解得－2<a<0或0<a<2.
3．若圆x2＋y2＝r2(r>0)上有且只有两个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是________．
答案 (－1，＋1)
解析 留意到与直线x－y－2＝0平行且距离为1的直线方程分别是x－y－2＋＝0和x－y－2－＝0，要使圆上有且只有两个点到直线x－y－2＝0的距离为1，需满足在两条直线x－y－2＋＝0和x－y－2－＝0中，一条与该圆相交且另一条与该圆相离，所以<r<，即－1<r<＋1.
(推举时间：60分钟)
一、选择题
1．直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0和l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0相互垂直，则k等于( )
A．－3或－1 B．3或1
C．－3或1 D．3或－1
答案 C
解析 若k＝1，直线l1：x＝3，l2：y＝
满足两直线垂直．
若k≠1，直线l1，l2的斜率分别为k1＝，k2＝，由k1·k2＝－1得k＝－3，综上k＝1或k＝－3.
2．(2022·日照模拟)若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．x－y－3＝0
B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0
D．2x－y－5＝0
答案 A
解析 圆的圆心为C(1,0)．由圆的性质知，直线PC垂直于弦AB所在的直线，则kAB＝－，
即kAB＝－＝－＝1.
又点P(2，－1)是弦AB的中点，
由直线的点斜式方程得直线AB的方程为
y－(－1)＝x－2，
即x－y－3＝0.故选A.
3．若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )
A．x＋y＝0
B．x－y＝0
C．x－y＋2＝0
D．x＋y＋2＝0
答案 C
解析 圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4，圆心C的坐标为(－2,2)．
直线l过OC的中点(－1,1)，且垂直于直线OC，易知kOC＝－1，故直线l的斜率为1，直线l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.故选C.
4．若直线y＝kx＋2k与圆x2＋y2＋mx＋4＝0至少有一个交点，则m的取值范围是( )
A．[0，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[2,4]
答案 C
解析 由y＝k(x＋2)得直线恒过定点(－2,0)，因此可得点(－2,0)必在圆内或圆上，故有(－2)2＋02－2m＋4≤0⇒m≥4.又由方程表示圆的条件，故有m2－4×4>0⇒m<－4或m>4.综上可知m>4.故选C.
5．动圆C经过点F(1,0)，并且与直线
x＝－1相切，若动圆C与直线y＝x＋2＋1总有公共点，则圆C的面积( )
A．有最大值8π
B．有最小值2π
C．有最小值3π
D．有最小值4π
答案 D
解析 设圆心为(a，b)，半径为r，r＝|CF|＝|a＋1|，
即(a－1)2＋b2＝(a＋1)2，即a＝b2，
∴圆心为(b2，b)，r＝b2＋1，
圆心到直线y＝x＋2＋1的距离为
d＝≤＋1，
∴b≤－2(2＋3)或b≥2，
当b＝2时，rmin＝×4＋1＝2，
∴Smin＝πr2＝4π.
6．设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为( )
A．1 B. C．2 D.
答案 D
解析 依题意，圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心是点C(1,1)，半径是1，易知|PC|的最小值等于圆心C(1,1)到直线3x＋4y＋3＝0的距离，即＝2，而四边形PACB的面积等于2S△PAC＝2×(|PA|·|AC|)＝|PA|·|AC|＝|PA|＝，因此四边形PACB的面积的最小值是＝，故选D.
二、填空题
7．已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是________________．
答案 3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0
解析 依题意，设所求直线l1的方程是3x＋4y＋b＝0，则由直线l1与圆x2＋(y＋1)2＝1相切，可得圆心(0，－1)到直线3x＋4y＋b＝0的距离为1，即有＝1，解得b＝－1或b＝9.因此，直线l1的方程是3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0.
8．(2022·湖北)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝____.
答案 2
解析
依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，
则∠AOB＝90°.如图，此时a＝1，b＝－1，
满足题意，
所以a2＋b2＝2.
9．(2021·湖北)已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcos θ＋ysin θ＝1(0<θ<)．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________.
答案 4
解析 圆心O到直线l的距离d＝＝1，
而圆O半径为，所以圆O上到l的距离等于1的点有4个．
10．已知A(－2,0)，B(0,2)，实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆x2＋y2＋kx＝0上的动点，假如M，N关于直线x－y－1＝0对称，则△PAB面积的最大值是________．
答案 3＋
解析 依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心(－，0)位于直线x－y－1＝0上，于是有－－1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB|＝2，直线AB的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB的距离等于＝，点P到直线AB的距离的最大值是＋1，△PAB面积的最大值为×2×＝3＋.
三、解答题
11．(1)求圆心在x轴上，且与直线y＝x相切于点(1,1)的圆的方程；
(2)已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称，求圆C的方程．
解 (1)依据题意可设圆心(a,0)，则＝－1⇒a＝2，即圆心为(2,0)，半径r＝＝，则所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝2.
(2)设圆心为C(a，b)，则
所以又P(1,1)在圆上，
所以圆C的方程为x2＋y2＝2.
12．已知圆M的方程为x2＋y2－2x－2y－6＝0，以坐标原点O为圆心的圆O与圆M相切．
(1)求圆O的方程；
(2)圆O与x轴交于E，F两点，圆O内的动点D使得|DE|，|DO|，|DF|成等比数列，求·的取值范围．
解 (1)圆M的方程可整理为(x－1)2＋(y－1)2＝8，
故圆心M(1,1)，半径R＝2.
圆O的圆心为O(0,0)，
由于|MO|＝<2，
所以点O在圆M内，故圆O只能内切于圆M.
设圆O的半径为r，
由于圆O内切于圆M，
所以|MO|＝R－r，
即＝2－r，
解得r＝.
所以圆O的方程为x2＋y2＝2.
(2)不妨设E(m,0)，F(n,0)，且m<n.
由
解得或
故E(－，0)，F(，0)．
设D(x，y)，由|DE|，|DO|，|DF|成等比数列，
得|DE|×|DF|＝|DO|2，
即×＝x2＋y2，
整理得x2－y2＝1.
而＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)，
所以·＝(－－x)(－x)＋(－y)(－y)
＝x2＋y2－2＝2y2－1.
由于点D在圆O内，故有得y2<，
所以－1≤2y2－1<0，
即·∈[－1,0)．
13．(2022·苏北四市质检)已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为⊙H.
(1)若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以点C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求⊙C的半径r的取值范围．
解 (1)线段AB的垂直平分线方程为x＝0，线段BC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0，所以外接圆圆心为H(0,3)，半径为＝，
⊙H的方程为x2＋(y－3)2＝10.
设圆心H到直线l的距离为d，由于直线l被⊙H截得的弦长为2，所以d＝＝3.
当直线l垂直于x轴时，明显符合题意，即x＝3为所求；
当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y－2＝k(x－3)，则＝3，解得k＝，直线方程为4x－3y－6＝0.
综上，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0.
(2)直线BH的方程为3x＋y－3＝0，
设P(m，n)(0≤m≤1)，N(x，y)，
由于点M是线段PN的中点，所以M(，)，又M，N都在半径为r的⊙C上，
所以
即
由于该关于x，y的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r为半径的圆与以(6－m,4－n)为圆心，2r为半径的圆有公共点，
所以(2r－r)2≤(3－6＋m)2＋(2－4＋n)2≤(r＋2r)2，
又3m＋n－3＝0，所以r2≤10m2－12m＋10≤9r2对∀m∈[0,1]成立．
而f(m)＝10m2－12m＋10在[0,1]上的值域为[，10]，
故r2≤且10≤9r2.
又线段BH与圆C无公共点，
所以(m－3)2＋(3－3m－2)2>r2对∀m∈[0,1]成立，
即r2<.
故⊙C的半径r的取值范围为[，)．
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