2021年高考真题——文科数学(四川卷)Word版含答案(1).docx

2021年一般高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（文史类）
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合，集合，则
（A） （B） （C） （D）
2、设向量与向量共线，则实数
（A） （B） （C） （D）
3、某学校为了了解三班级、六班级、九班级这三个班级之间的同学视力是否存在显著差异，拟从这三个班级中按人数比例抽取部分同学进行调查，则最合理的抽样方法是
（A）抽签法 （B）系统抽样法
（C）分层抽样法 （D）随机数法
4、设为正实数，则“”是“”的
（A）充要条件 （B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
5、下列函数中，最小正周期为的奇函数是
（A） （B）
（C） （D）
6、执行如图所示的程序框图，输出的值为
（A） （B） （C） （D）
7、过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于、两点，则
（A） （B） （C） （D）
8、某食品的保鲜时间(单位：小时)与贮存温度(单位：)满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）。若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是
（A）小时 （B）小时 （C）小时 （D）小时
9、设实数满足，则的最大值为
（A） （B） （C） （D）
10、设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点。若这样的直线恰有条，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11、设是虚数单位，则复数_____________.
12、的值是 _____________.
13、已知，则的值是______________.
14、在三棱住中，，其正视图和侧视图都是边长为的正方形，俯视图是直角边的长为的等腰直角三角形。设点分别是棱的中点，则三棱锥的体积是______.
15、已知函数，（其中）。对于不相等的实数，，设，。现有如下命题：
①对于任意不相等的实数，，都有；
②对于任意的及任意不相等的实数，，都有；
③对于任意的，存在不相等的实数，，使得；
④对于任意的，存在不相等的实数，，使得。
其中的真命题有____________（写出全部真命题的序号）。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)
设数列的前项和满足，且，，成等差数列。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求。

17、(本小题满分12分)
一辆小客车上有个座位，其座位号为，乘客的座位号分别为，他们依据座位号从小到大的挨次先后上车。乘客因身体缘由没有坐自己的号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规章就座：假如自己的座位空着，就只能坐自己的座位；假如自己的座位已有乘客就座，就在这个座位的剩余空位中任意选择座位。
（Ⅰ）若乘客坐到了3号座位，其他乘客按规章就座，则此时共有4种坐法。下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）；
（Ⅱ）若乘客坐到了号座位，其他乘客按规章就坐，求乘客坐到号座位的概率。

18、(本小题满分12分)
一个正方体的平面开放图及该正方体的直观图的示意图如图所示。
（Ⅰ）请按字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（Ⅱ）推断平面与平面的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅲ）证明：直线平面。

19、(本小题满分12分)
已知为的内角，，是关于的方程的两个实根。
（Ⅰ）求的大小。
（Ⅱ）若，，求的值。

20、(本小题满分13分)
如图，椭圆：的离心率是，点在短轴上，且。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ） 设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点。是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。

21、(本小题满分14分)
已知函数，其中。
（Ⅰ）设是的导函数，争辩的单调性；
（Ⅱ）证明：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解。