1、第2讲椭圆、双曲线、抛物线考情解读(1)以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特殊是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础学问、基本技能，属于基础题(2)以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，经常在学问的交汇点处命题，有时以探究的形式毁灭，有时以证明题的形式毁灭该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的力气，综合运用学问的力气等，属于中、高档题，一般难度较大圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF
2、|PM|，点F不在直线l上，PMl于M标准方程1(ab0)1(a0，b0)y22px(p0)图形几何性质范围|x|a，|y|b|x|ax0顶点(a,0)(0，b)(a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(c,0)(，0)轴 长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e (0e1)e (e1)e1准线x渐近线yx热点一圆锥曲线的定义与标准方程例1(1)若椭圆C：1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF2|4则F1PF2等于()A30 B60 C120 D150(2)已知抛物线x22py(p0)的焦点与双曲线x2y2的一个焦点重合，且在抛物线上有一动点P到x
3、轴的距离为m，P到直线l：2xy40的距离为n，则mn的最小值为_思维启迪(1)PF1F2中利用余弦定理求F1PF2；(2)依据抛物线定义得m|PF|1.再利用数形结合求最值答案(1)C(2)1解析(1)由题意得a3，c，所以|PF1|2.在F2PF1中，由余弦定理可得cosF2PF1.又由于cosF2PF1(0，180)，所以F2PF1120.(2)易知x22py(p0)的焦点为F(0,1)，故p2，因此抛物线方程为x24y.依据抛物线的定义可知m|PF|1，设|PH|n(H为点P到直线l所作垂线的垂足)，因此mn|PF|1|PH|.易知当F，P，H三点共线时mn最小，因此其最小值为|FH|
4、111.思维升华(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深化理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，双曲线的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化(2)留意数形结合，画出合理草图(1)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2) 如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29xBy26xCy
5、23xDy2x答案(1)D(2)C解析(1)椭圆的离心率为，a2b.椭圆方程为x24y24b2.双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，渐近线xy0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为，由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4，b25，a24b220.椭圆C的方程为1.(2)如图，分别过A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知，|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130，A1AF60.连接A1F，则A1AF为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于N，则|NF|A1F1|AA1|AF
6、|，即p，抛物线方程为y23x，故选C.热点二圆锥曲线的几何性质例2(1)已知离心率为e的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，若F1PF2，则e等于()A. B.C. D3(2)设F1，F2分别是椭圆1 (ab0)的左，右焦点，若在直线x上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是()A. B.C. D.思维启迪(1)在F1F2P中利用余弦定理列方程，然后利用定义和已知条件消元；(2)可设点P坐标为(，y)，考察y存在的条件答案(1)C(2)D解析(1)设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，|PF1|m，|PF2|
7、n，且不妨设mn，由mn2a1，mn2a2得ma1a2，na1a2.又F1PF2，4c2m2n2mna3a，4，即4，解得e，故选C.(2)设P，线段F1P的中点Q的坐标为，当kQF2存在时，则kF1P，kQF2，由kF1PkQF21，得y2，y20，但留意到b22c20，即2c2b20，即3c2a20，即e2，故e1.当kQF2不存在时，b22c20，y0，此时F2为中点，即c2c，得e，综上，得e0，b0)的右焦点为F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若()0，则双曲线的离心率e为()A2 B3 C. D.(2)(2022课标全国)已知F为双曲线C：x2my23m(
8、m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B3 C.m D3m答案(1)C(2)A解析(1)设OF的中点为C，则2，由题意得，20，ACOF，AOAF，又OAF90，AOF45，即双曲线的渐近线的倾斜角为45，tan 451，则双曲线的离心率e ，故选C.(2)双曲线C的标准方程为1(m0)，其渐近线方程为y xx，即yx，不妨选取右焦点F(，0)到其中一条渐近线xy0的距离求解，得d.故选A.热点三直线与圆锥曲线例3过椭圆1(ab0)的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知.(1)求椭圆的离心率；(2)设动直线ykxm与椭圆有且只有一个公共点
9、P，且与直线x4相交于点Q，若x轴上存在确定点M(1,0)，使得PMQM，求椭圆的方程思维启迪(1)依据和点B在椭圆上列关于a、b的方程；(2)联立直线ykxm与椭圆方程，利用0，0求解解(1)A(a,0)，设直线方程为y2(xa)，B(x1，y1)，令x0，则y2a，C(0,2a)，(x1a，y1)，(x1,2ay1)，x1a(x1)，y1(2ay1)，整理得x1a，y1a，点B在椭圆上，()2()21，即1e2，e.(2)，可设b23t，a24t，椭圆的方程为3x24y212t0，由，得(34k2)x28kmx4m212t0，动直线ykxm与椭圆有且只有一个公共点P，0，即64k2m24(
10、34k2)(4m212t)0，整理得m23t4k2t，设P(x1，y1)则有x1，y1kx1m，P(，)，又M(1,0)，Q(4,4km)，x轴上存在确定点M(1,0)，使得PMQM，(1，)(3，(4km)0恒成立，整理得34k2m2.34k23t4k2t恒成立，故t1.椭圆的方程为1.思维升华待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解已知椭圆C：1(ab0)的焦距为2，且过点(1，)，右焦点为F2.设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为，线段AB的中
11、垂线交椭圆C于P，Q两点(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围解(1)由于焦距为2，所以a2b21.由于椭圆C过点(1，)，所以1.故a22，b21.所以椭圆C的方程为y21.(2)由题意，当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为x，此时P(，0)，Q(，0)，得1.当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k(k0)，M(，m)(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(x1x2)2(y1y2)0，则14mk0，故4mk1.此时，直线PQ的斜率为k14m， 直线PQ的方程为ym4m(x)即y4mxm.联立消去y，整理得(32m21)x216m2x2m220.设P(x3，y3)，Q
12、(x4，y4)所以x3x4，x3x4.于是(x31)(x41)y3y4x3x4(x3x4)1(4mx3m)(4mx4m)(4m21)(x3x4)(16m21)x3x4m211m2.由于M(，m)在椭圆的内部，故0m2，令t32m21,1t29，则.又1t29，所以1B0时，表示焦点在y轴上的椭圆；BA0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2；(2)|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)；(3)SAOB；(4)为定值；(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切真题感悟1(2022湖北)已知F1，F2是椭圆和双曲
13、线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A. B.C3 D2答案A解析设|PF1|r1，|PF2|r2(r1r2)，|F1F2|2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2rr2r1r2cos ，得4c2rrr1r2.由得.令m，当时，mmax，()max，即的最大值为.2(2022辽宁)已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A. B.C. D.答案D解析抛物线y22px的准线为直线x，而点A(2,
14、3)在准线上，所以2，即p4，从而C：y28x，焦点为F(2,0)设切线方程为y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14(2k3)0，所以k2或k.由于切点在第一象限，所以k.将k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以点B的坐标为(8,8)，所以直线BF的斜率为.押题精练1已知圆x2y2上点E处的一条切线l过双曲线1(a0，b0)的左焦点F，且与双曲线的右支交于点P，若()，则双曲线的离心率是_答案解析如图所示，设双曲线的右焦点为H，连接PH，由题意可知|OE|，由()，可知E为FP的中点由双曲线的性质，可知O为FH的中点，所以OEPH，且|OE|PH|，故|PH|2
15、|OE|.由双曲线的定义，可知|PF|PH|2a(P在双曲线的右支上)，所以|PF|2a|PH|.由于直线l与圆相切，所以PFOE.又OEPH，所以PFPH.在PFH中，|FH|2|PH|2|PF|2，即(2c)2()2()2，整理得，即e.2设椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点(1)若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；(2)若|AP|OA|，证明：直线OP的斜率k满足|k|.(1)解设点P的坐标为(x0，y0)，y00.由题意，有1.由A(a,0)，B(a,0)，得kAP，kBP.由kAP kBP，可得xa22y，代入并整理得(a2
16、2b2)y0.由于y00，故a22b2.于是e2，所以椭圆的离心率e.(2)证明方法一依题意，直线OP的方程为ykx，设点P的坐标为(x0，y0)由条件得消去y0并整理，得x，由|AP|OA|，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2.整理得(1k2)x2ax00.而x00，于是x0，代入，整理得(1k2)24k224.又ab0，故(1k2)24k24，即k214，因此k23，所以|k|.方法二依题意，直线OP的方程为ykx，可设点P的坐标为(x0，kx0)由点P在椭圆上，有1.由于ab0，kx00，所以1，即(1k2)xa2.由|AP|OA|及A(a,0)，得(x0a)2k2xa2
17、，整理得(1k2)x2ax00，于是x0.代入，得(1k2)3，所以|k|.(推举时间：60分钟)一、选择题1已知椭圆1(0b0，b0)以及双曲线1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线1的离心率为()A2或 B.或C2或 D.或答案A解析由题意，可知双曲线1的渐近线的倾斜角为30或60，则或.则e 或2.故选A.3已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，可设双曲线的方程为x2(0)由于双曲线1(a0，b0)的一个焦点在抛物线y224x的准线上
18、，所以F(6,0)是双曲线的左焦点，即336，9，所以双曲线的方程为1.故选B.4已知椭圆1 (ab0)，A(4,0)为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且0，|2|，则其焦距为()A. B.C. D.答案C解析由题意，可知|，且a4，又|2|，所以，|2|.故|.又0，所以.故OAC为等腰直角三角形，|2.不妨设点C在第一象限，则点C的坐标为(2,2)，代入椭圆的方程，得1，解得b2.所以c2a2b242，c.故其焦距为2c.5设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.答案D解析由已知得焦点坐标为F(
19、，0)，因此直线AB的方程为y(x)，即4x4y30.方法一联立抛物线方程，化简得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.方法二联立方程得x2x0，故xAxB.依据抛物线的定义有|AB|xAxBp12，同时原点到直线AB的距离为h，因此SOAB|AB|h.6椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且12的最大值的取值范围是c2,3c2，其中c，则椭圆M的离心率e的取值范围是()A， B，C(，1) D，1)答案B解析设P(x，y)，F1(c,0)，F2(c,0)，则(cx，y)，(cx，y)，x2y2c2.又x2y2可看作P(x，y)
20、到原点的距离的平方，所以(x2y2)maxa2，所以()maxb2，所以c2b2a2c23c2，即e2，所以e.故选B.二、填空题7(2022北京)设双曲线C经过点(2,2)，且与x21具有相同渐近线，则C的方程为_；渐近线方程为_答案1y2x解析设双曲线C的方程为x2，将点(2,2)代入上式，得3，C的方程为1，其渐近线方程为y2x.8(2022浙江东阳中学阶段考试)已知点P(0,2)，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，线段PF与抛物线C的交点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若PQF90，则p_.答案解析由抛物线的定义可得|MQ|MF|，F(，0)，又PQQF，故M为线段PF的
21、中点，所以M(，1)，把M(，1)，代入抛物线y22px(p0)得，12p，解得p，故答案为.9抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线1的右焦点重合，过点P(2,0)且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为_答案11解析由于双曲线1的右焦点坐标是(3,0)所以3，所以p6.即抛物线的标准方程为y212x.设过点P(2,0)且斜率为1的直线l的方程为yx2，联立y212x消去y可得x216x40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x216，所以弦AB的中点到抛物线准线的距离为11.故填11.10已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左，右焦点，点P
22、在双曲线上且不与顶点重合，过F2作F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A.若|OA| b，则该双曲线的离心率为_答案解析延长F2A交PF1于B点，则|PB|PF2|，依题意可得|BF1|PF1|PF2|2a.又由于点A是BF2的中点所以得到|OA|BF1|，所以ba.所以ca.所以离心率为.三、解答题11已知曲线C上的动点P(x，y)满足到定点A(1,0)的距离与到定点B(1,0)的距离之比为.(1)求曲线C的方程；(2)过点M(1,2)的直线l与曲线C交于两点M、N，若|MN|4，求直线l的方程解(1)由题意得|PA|PB|，故，化简得：x2y26x10(或(x3)2y28)即为所求(2)当直
23、线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1.将x1代入方程x2y26x10得y2，所以|MN|4，满足题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxk2，由圆心到直线的距离d2，解得k0，此时直线l的方程为y2.综上所述，满足题意的直线l的方程为x1或y2.12设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程解(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，由于2|AB|AF2|BF2|，所以|AB|a.l的方程为yxc，其中c.设
24、A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2.由于直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|.故a，得a22b2，所以E的离心率e.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0c，y0x0c.由|PA|PB|，得kPN1，即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆E的方程为1.13(2021北京)已知A，B，C是椭圆W：y21上的三个点，O是坐标原点(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B不是W的顶点时，推断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由解(1)由椭圆W：y21，知B(2,0)线段OB的垂直平分线x1.在菱形OABC中，ACOB，将x1代入y21，得y.|AC|yAyC|.菱形的面积S|OB|AC|2.(2)假设四边形OABC为菱形点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，可设AC的方程为ykxm(k0，m0)由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km.线段AC中点M，M为AC和OB交点，kOB.又k1，AC与OB不垂直OABC不是菱形，这与假设冲突综上，四边形OABC不是菱形
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