2020-2021学年高中数学(人教A版选修2-1)综合质量评估.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。综合质量评估第一至第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知命题“假如-1a1，那么关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-10的解集为”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有()A.0个B.1个C.2个D.4个【解析】选C.当-1a1时，=(a+2)2+4(a2-4)=5a+252-45-1251+252-45-12b0是a2b2的充要条件；ab0是1ab0是a3b3的充要条件.其中正确的说法有()A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选A.ab0a2b2，a2b2|a|b|ab0，故错.ab01a1b，但1ab0，故错.ab0a3b3，但a3b3ab0，故错，故选A.3.(2022吉林高二检测)“1m0,3-m0,所以1m3；但当1m0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为()A.5+12B.2+1C.3+1D.22+12【解析】选B.如图，由双曲线x2a2-y2b2=1，且AFx轴得c2a2-y2b2=1得|y|=b2a，由抛物线y2=2px的定义得AF=p，即b2a=2c.得b2=2ac，所以b2a2=2ca，e2-1=2e，所以e=2+1.【拓展延长】求离心率的方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=ca.已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数.这是基本且常用的方法.(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率.这是求离心率的格外重要的思路及方法.(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，依据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观看线段之间的关系，使问题更形象、直观.【变式训练】若双曲线C：x2-y2b2=1(b0)的顶点到渐近线的距离为22，则双曲线的离心率e=()A.2B.2C.3D.3【解析】选B.由双曲线方程知a=1，所以c=1+b2，所以一条渐近线的方程为y=bx，即bx-y=0.所以|b-0|b2+1=22，解得b=1，所以c=2，所以e=ca=2.5.(2022昌平高二检测)已知命题p：xR，x2，那么下列结论正确的是()A.命题p：xR，x2B.命题p：x0R，x02C.命题p：xR，x-2D.命题p：x0R，x0-2【解析】选B.全称命题的否定是特称命题，所以命题p：x0R，x02.6.已知矩形ABCD中，AB=1，BC=3，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为()A.1B.102C.12D.32【解析】选B.过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.则可求得AM=12，BM=32，CN=12，DN=32，MN=1.由于BD=BM+MN+ND，所以|BD|2=(BM+MN+ND)2=|BM|2+|MN|2+|ND|2+ 2(BMMN+ MNND+BMND)=322+12+322+2(0+0+0)=52，所以|BD|=102.7.(2022东城高二检测)过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若AB=10，则AB的中点到y轴的距离等于()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.抛物线y2=4x的焦点(1，0)，准线为l：x=-1，设AB的中点为E，过A，E，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，F，D，EF交纵轴于点H，如图所示，则由EF为直角梯形的中位线知，|EF|=|AC|+|BD|2=|AB|2=5，所以EH=EF-1=5-1=4，即AB的中点到y轴的距离等于4.8.(2022牡丹江高二检测)在四边形ABCD中，“R，使得AB=DC，AD=BC”是“四边形ABCD为平行四边形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.若AB=DC，AD=BC，则ABDC，ADBC，即ABDC，ADBC，所以四边形ABCD为平行四边形.反之，若四边形ABCD为平行四边形，则有ABDC，ADBC且AB=DC，AD=BC，即AB=DC，AD=BC，此时=1，所以R，使得AB=DC，AD=BC成立.所以“R，使得AB=DC，AD=BC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充分必要条件.9.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为()A.60B.90C.45D.以上都不正确【解析】选B.以点D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图.由题意知，A1(1，0，2)，E(1，1，1)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)，所以A1E=(0，1，-1)，D1E=(1，1，-1)，EA=(0，-1，-1).设平面A1ED1的一个法向量为n=(x，y，z).则y-z=0,x+y-z=0.令z=1，得y=1，x=0.所以n=(0，1，1)，cos= =-222=-1.所以=180.所以直线AE与平面A1ED1所成的角的大小为90.10.设F1，F2是双曲线x2-4y2=4a(a0)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足：PF1PF2=0，|PF1|PF2|=2，则a的值为()A.2B.52C.1D.5【解析】选C.双曲线方程化为x24a-y2a=1(a0)，由于PF1PF2=0，所以PF1PF2.所以|PF1|2+|PF2|2=4c2=20a.由双曲线定义|PF1|-|PF2|=4a，又已知|PF1|PF2|=2，由得20a-22=16a，所以a=1.11.(2022长沙高二检测)点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则PAPC1的取值范围是()A.-1,-14B.-12,-14C.-1，0D.-12,0【解析】选D.如图所示建立空间直角坐标系，则A(1，0，1)，C1(0，1，0).设P(x，y，0)，其中0x1，0y1.则PA=(1-x，-y，1)，PC1=(-x，1-y，0)，所以PAPC1=(1-x，-y，1)(-x，1-y，0)=x-122+y-122-12，由于x-122+y-122的几何意义是平面区域0x1,0y1到点12,12的距离的平方，所以当x=y=12时，x-122+y-122有最小值0，当x=y=0或x=y=1或x=1，y=0或x=0，y=1时，x-122+y-122有最大值12，所以-12x-122+y-122-120，即PAPC1的取值范围是-12,0.12.(2022北京高二检测)已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是()A.34B.32C.3D.23【解析】选B.设抛物线方程为y2=2px(p0)，依据对称性可知，正六边形ABCDEF的顶点A，B，C，F在抛物线y2=2px上，设A(x1，1)，F(x2，2)，则1=2px1,4=2px2,即x2=4x1，又AF=(x1-x2)2+(1-2)2=2，即(x1-x2)2=(x1-4x1)2=3，所以x12=13，x1=33，即p=12x1=1233=32.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2022广州高二检测)抛物线焦点在y轴上，且被y=12x+1截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为.【解析】设抛物线方程为x2=my，联立抛物线方程与直线方程y=12x+1并消元，得：2x2-mx-2m=0，所以x1+x2=m2，x1x2=-m，所以5=1+122(x1+x2)2-4x1x2，把x1+x2=m2，x1x2=-m代入解得m=4或m=-20.所以抛物线的标准方程为x2=4y或x2=-20y.答案：x2=4y或x2=-20y14.在ABC中，若ACB=90，BAC=60，AB=8，PC平面ABC，PC=4，M是AB上一点，则PM的最小值为.【解析】由条件知PC，AC，BC两两垂直，设CA=a，CB=b，CP=c，则ab=bc=ca=0，由于BAC=60，AB=8，所以|a|=|CA|=8cos60=4，|b|=|CB|=8sin60=43，|c|=|PC|=4.设AM=xAB=x(b-a)，其中x0，1，则PM=PC+CA+AM=-c+a+x(b-a)=(1-x)a+xb-c，|PM|2=(1-x)2|a|2+x2|b|2+|c|2+2(1-x)xab-2xbc-2(1-x)ac=16(1-x)2+48x2+16=32(2x2-x+1)=64x-142+28，所以当x=14时，|PM|2取最小值28，所以|PM|min=27.答案：2715.(2022青岛高二检测)在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG=2GD，PA=a，PB=b，PC=c，试用基底a，b，c表示向量PG=.【解析】由于BG=2GD，所以BG=23BD.又BD=BA+BC=PA-PB+PC-PB=a+c-2b，所以PG=PB+BG=b+23(a+c-2b)=23a-13b+23c.答案：23a-13b+23c16.(2022武汉高二检测)曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2k0的点的轨迹.给出下列四个结论：曲线C过点(-1，1)；曲线C关于点(-1，1)对称；若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则PA+PB不小于2k.设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线x=-1、点(-1，1)及直线y=1对称的点分别为P1，P2，P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2.其中，全部正确结论的序号是.【解析】设动点为(x，y)，则由条件可知x+1y-1=k2，将(-1，1)代入得0=k2，由于k0，所以不成立，故方程不过点(-1，1)，错误.，把方程中的x用-2-x代换，y用2-y代换，方程不变，故此曲线关于点(-1，1)对称，正确.，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则PAx+1，PBy-1，所以PA+PB2PAPB=2k，故正确.，由题意知点P0在曲线C上，依据对称性，则四边形P0P1P2P3的面积为2x+12y-1=4x+1y-1=4k2，所以正确.综上所述，正确结论的序号是.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设p：关于x的不等式ax1(a0且a1)的解集为x|x0，q：函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R.假如p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围.【解析】当p真时，0a0,1-4a212，所以p假时，a1，q假时，a12.又p和q有且仅有一个正确，当p真q假时，01.综上a的取值范围为0,12(1，+).18.(12分)(2022黄山高二检测)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点.(1)用向量法证明平面A1BD平面B1CD1.(2)用向量法证明MN平面A1BD.【证明】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD=AD-AB，B1D1=A1D1-A1B1，又由于AD=A1D1，AB=A1B1，所以BD=B1D1，所以BDB1D1.又B1D1平面B1CD1，BD平面B1CD1，所以BD平面B1CD1，同理可证A1B平面B1CD1.又BDA1B=B，所以平面A1BD平面B1CD1.(2)MN=MB+BC+CN=12AB+AD+12(CB+BB1)=12AB+AD+12(-AD+AA1)=12AB+12AD+12AA1.设AB=a，AD=b，AA1=c，则MN=12(a+b+c).又BD=AD-AB=b-a，所以MNBD=12(a+b+c)(b-a)=12(b2-a2+cb-ca).又由于A1AAD，A1AAB，所以cb=0，ca=0.又|b|=|a|，所以b2=a2.所以b2-a2=0.所以MNBD=0.所以MNBD.同理可证，MNA1B.又A1BBD=B，所以MN平面A1BD.19.(12分)已知抛物线C：y2=2px(p0)过点A(1，-2).(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于55？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由.【解析】(1)将A(1，-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p1，所以p=2.故所求抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t.由y=-2x+t,y2=4x,得y2+2y-2t=0.由于直线l与抛物线C有公共点，所以=4+8t0，解得t-12.由直线OA与l的距离d=55，可得|t|5=15，解得t=1.由于-1-12,+，1-12,+，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0.20.(12分)(2022秦皇岛高二检测)设F1，F2为椭圆x236+y216=1的两个焦点，P是椭圆上一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|.(1)求|PF1|的长度.(2)求|PF1|PF2|的值.【解析】(1)若PF2F1是直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，得|PF1|=283，若F1PF2是直角，则|PF1|2+(12-|PF1|)2=80，即2|PF1|2-24|PF1|+64=0，得|PF1|=8.(2)若PF2F1是直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，得|PF1|=283，|PF2|=83，所以|PF1|PF2|=72.若F1PF2是直角，则|PF1|2+(12-|PF1|)2=80，即2|PF1|2-24|PF1|+64=0，得|PF1|=8，|PF2|=4，所以|PF1|PF2|=2，综上，|PF1|PF2|=2或72.21.(12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值.(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论.【解析】设正方体的棱长为1.如图所示，以AB，AD，AA1为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz.(1)依题意，得B(1，0，0)，E0,1,12，A(0，0，0)，D(0，1，0)，所以BE=-1,1,12，AD=(0，1，0).在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由于AD平面ABB1A1，所以AD是平面ABB1A1的一个法向量.设直线BE和平面ABB1A1所成的角为，则sin=|BEAD|BE|AD|=1321=23.故直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为23.(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE.证明如下：依题意，得A1(0，0，1)，BA1=(-1，0，1)，BE=-1,1,12.设n=(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由nBA1=0，nBE=0，得-x+z=0,-x+y+12z=0,所以x=z，y=12z.取z=2，得n=(2，1，2).由于F是棱C1D1上的点，则F(t，1，1)(0t1).又B1(1，0，1)，所以B1F=(t-1，1，0).而B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BEB1Fn=0(t-1，1，0)(2，1，2)=02(t-1)+1=0t=12F为棱C1D1的中点.这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F平面A1BE.22.(12分)(2021天津高考)如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1CE.(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26，求线段AM的长.【解题指南】方法一：(1)建立空间直角坐标系，写出B1C1，CE的坐标，利用数量积证明.(2)求出平面B1CE与平面CEC1的法向量，由法向量的夹角余弦值求二面角的正弦值.(3)用直线AM的方向向量与平面ADD1A1的法向量表示直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦，确定向量AM的坐标，由向量的模求线段AM的长.方法二：(1)要证明线线垂直，先证明线面垂直，关键是找出与线B1C1垂直的平面CC1E，然后进行证明.(2)要求二面角B1-CE-C1的正弦值，关键是构造出二面角B1-CE-C1的平面角，然后在三角形中求解.(3)首先构造三角形，设AM=x，在直角三角形AHM，C1D1E中用x表示出AH，EH的长度，最终在三角形AEH中利用余弦定理求解.【解析】如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0).(1)易得B1C1=(1，0，-1)，CE=(-1，1，-1)，于是B1C1CE=0，所以B1C1CE.(2)B1C=(1，-2，-1)，设平面B1CE的法向量m=(x，y，z)，则即x-2y-z=0,-x+y-z=0,消去x，得y+2z=0，不妨设z=1，可得一个法向量为m=(-3，-2，1).由(1)知B1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故B1C1=(1，0，-1)为平面CEC1的一个法向量.于是cos= =-4142=-277，从而sin=217.所以二面角B1-CE-C1的正弦值为217.(3)AE=(0，1，0)，EC1=(1，1，1)，设EM=EC1=(，)，01，有AM=AE+EM=(，+1，).可取AB=(0，0，2)为平面ADD1A1的一个法向量.设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sin=cos=|AMAB|AMAB=22+(+1)2+22=32+2+1.于是32+2+1=26，解得=13，所以AM=2.【一题多解】(1)由于侧棱CC1底面A1B1C1D1，B1C1平面A1B1C1D1，所以CC1B1C1，经计算可得B1E=5，B1C1=2，EC1=3，从而B1E2=B1C12+EC12，所以在B1EC1中，B1C1C1E，又CC1，C1E平面CC1E，CC1C1E=C1，所以B1C1平面CC1E，又CE平面CC1E，故B1C1CE.(2)过B1作B1GCE于点G，连接C1G，由(1)知，B1C1CE，B1C1，B1G平面B1C1G，B1C1B1G=B1，故CE平面B1C1G，又C1G平面B1C1G，得CEC1G，所以B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.在CC1E中，由CE=C1E=3，CC1=2，可得C1G=263.在RtB1C1G中，B1G=423，所以sinB1GC1=217，即二面角B1-CE-C1的正弦值为217.(3)连接D1E，过点M作MHED1于点H，可得MH平面ADD1A1，连接AH，AM，则MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.设AM=x，从而在RtAHM中，有MH=26x，AH=346x，在RtC1D1E中，C1D1=1，ED1=2，得EH=2MH=13x，在AEH中，AEH=135，AE=1，由AH2=AE2+EH2-2AEEHcos135，得1718x2=1+19x2+23x，整理得5x2-22x-6=0，解得x=2.所以线段AM的长为2.关闭Word文档返回原板块