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双基限时练(十三) 简洁的幂函数
基 础 强 化
1．下列函数中，不是幂函数的是( )
A. y＝ B. y＝x3
C. y＝3x D. y＝x－1
解析 由幂函数的定义可得．
答案 C
2．若函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值为( )
A. 3 B. 2
C. 3或－2 D. k≠3且k≠－2
解析 由幂函数的概念可知k2－k－5＝1，即k2－k－6＝0，得k＝－2，或k＝3.
答案 C
3．函数y＝x的图像是( )
解析 函数y＝x是幂函数，幂函数在第一象限内的图像恒定过定点(1,1)，排解A、D.当x>1时，x>x，故幂函数y＝x图像在直线y＝x的下方，排解C.
答案 B
4．已知函数f(x)＝x3＋＋1，(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )
A. 3 B. 0
C. －1 D. －2
解析 设F(x)＝f(x)－1，明显F(x)为奇函数，
∴F(a)＝f(a)－1＝1，F(－a)＝－F(a)＝－1.
∴f(－a)－1＝－1，∴f(－a)＝0.
答案 B
5．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于( )
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
解析 ∵f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，
∴(－x＋1)(－x－a)＝(x＋1)(x－a)，得a＝1.
答案 C
6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是削减的，且f(3)＝0，则使f(x)<0的x的取值范围为( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(－∞，3)∪(3，＋∞) D．(－3,3)
解析 由已知可得f(－3)＝f(3)＝0，结合函数的奇偶性和单调性可画出函数f(x)的大致图像(如图)．
由图像可知f(x)<0时，x的取值范围是(－3,3)．
答案 D
7．当α∈时，幂函数y＝xα的图像不行能经过第________象限．
解析 幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图像分布在第一、三象限，y＝x的图像分布在第一象限，故当α∈时，幂函数y＝xα的图像不行能经过其次、四象限．
答案 二、四
能 力 提 升
8．若函数f(x)＝ax3在[3－a,5]上是奇函数，则a＝________.
解析 由奇函数定义域的特点和3－a＝－5，得a＝8.
答案 8
9．已知a＝xα，b＝x，c＝x，x∈(0,1)，α∈(0,1)，则a，b，c的大小挨次是________．
解析 ∵α∈(0,1)，∴>α>，又0<x<1依据幂函数的图像特征可知x<xα<x.
答案 c<a<b
10．点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点在幂函数g(x)的图像上，问当x为何值时，有①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．
解 设f(x)＝xα，则由题意得2＝()α，∴α＝2，即f(x)＝x2.再设g(x)＝xβ，则由题意得＝(－2)β，∴β＝－2，即g(x)＝x－2，在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图像，如图所示．
由图像可知：
(1)当x>1，或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．
11．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式．
解 (1)当x＝0时，由f(－x)＝－f(x)，得f(0)＝0.
(2)当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]．
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝(－x)(1＋x)，
∴f(x)＝x(1＋x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝
12．已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝2.
(1)求m；
(2)推断f(x)的奇偶性；
(3)函数f(x)在(1，＋∞)内是增加的还是削减的？并说明理由．
解 (1)∵f(1)＝2，∴1＋m＝2，即m＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝x＋，明显函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
又f(－x)＝(－x)＋＝－x－＝
－＝－f(x)，
∴函数f(x)＝x＋是奇函数．
(3)函数f(x)在(1，＋∞)内是增加的．设x1，x2是(1，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－
＝x1－x2＋
＝x1－x2－
＝(x1－x2)，
当1<x1<x2时，
有x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0，
从而f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)<f(x2)，
∴函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)内是增加的．
考 题 速 递
13．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析 f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案 A
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