甘肃省张掖中学2021届高三第四次月考数学(文)试卷(Word含答案).docx

张掖中学2021届高三第一学期第四次月考试卷
数学（文科）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合，，若，则实数的取值范围是（ ）

2.若为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 等差数列的前n项和为，若，则等于( )
A．8 B．10 C．12 D．14
4. 已知某几何体的三视图如右图，依据图中标出的尺寸（单位：cm），可得
这个几何体的体积是
A. B. C. D.
5.已知向量满足，则的夹角为(　　)
A. B. C. D.
6.甲：函数是R上的单调递增函数；
乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，
为该题的最终得分，当时，等于（ ）
A． B．　　 C． D．
8. 已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）

9.如右图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机的撒2400颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为516颗，依据此试验数据可以估量出椭圆的面积约为( )
A.17.84 B. 18.84 C. 5.16 D.6.16
10. 已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋的最小值是(　　)
A. B. C. D.
11. 已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，且在第一象限，，垂足为，，则直线的倾斜角等于（ ）
A． B. C． D.
12.已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡上.
13. 若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为________．
14.已知数列{an}满足.则=
15. 已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________
16.下列命题中，正确的为_________________.（把你认为正确的命题的序号都填上）
①函数的图象关于直线对称；
②若命题P为：；
③，函数都不是偶函数；
④的必要不充分条件.
三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数
(1)若，且，求的值；
(2)求函数的最小正周期及单调递增区间．

18．（本题满分12分）
为选拔选手参与“中国汉字听写大会”，某中学进行了一次“汉字听写大赛”活动.为了了解本次竞赛同学的成果状况，从中抽取了部分同学的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计.依据，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．
5 1 2 3 4 5 6 7 8
6
7
8
9 3 4

(1)求样本容量和频率分布直方图中的、的值；
(2)在选取的样本中，从竞赛成果在80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学参与“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名同学中至少有一人得分在内的概率．

19.（本小题满分12分）
如图所示四棱锥P­ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，
M为BC上一点，且BM＝.
(1)证明：BC⊥平面POM；
(2)若MP⊥AP，求四棱锥P­ABMO的体积．

20. （本小题满分12分）
已知椭圆C：的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点).

21. （本小题满分12分）已知函数
(1)若，求函数的极值；
(2)设函数，求函数的单调区间；
(3)若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.

选考题：满分10分，请在第22、23、24三题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题记分.
22．选修4－1：几何证明选讲：
在中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D
(1)求证： (2)若AC=3，求的值

23．选修4－4：极坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.
(1)写出曲线C的一般方程和直线的直角坐标方程；
(2)求曲线C上的点到直线的最大距离，并求出这个点的坐标。

24．选修4­5：不等式选讲
已知．
(1)解不等式；
(2)对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围
张掖中学2021届高三第一学期第四次月考数学（文科）答案
一、选择题：ADCCC ABDBC BD
二、填空题： 1 ①④
三、解答题：
17. 解：方法一：(1)由于0<α<，sin α＝，所以cos α＝.
所以f(α)＝×－＝.
(2)由于f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
(1)由于0<α<，sin α＝，所以α＝，
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

18．（本小题满分12分）
解：（1）由题意可知，样本容量，，

（2）由题意可知，分数在内的同学有5人，记这5人分别为，，，，，分数在内的同学有2人，记这2人分别为，.
抽取的2名同学的全部状况有21种，分别为：
（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），
（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），
（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）.
其中2名同学的分数都不在内的状况有10种，分别为：
（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），
（，），（，），（，）.
∴ 所抽取的2名同学中至少有一人得分在内的概率.

19．(1)证明：如图所示，由于四边形ABCD为菱形，O为菱形的中心，连接OB，则AO⊥OB.由于∠BAD＝，所以OB＝AB·sin∠OAB＝2sin＝1.
又由于BM＝，且∠OBM＝，在△OBM中，OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM＝12＋－2×1××cos＝，所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM.
又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内的两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC⊥平面POM.

(2)由(1)可得，OA＝AB·cos∠OAB＝2×cos＝.
设PO＝a，由PO⊥底面ABCD，知△POA为直角三角形，故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.
又△POM也是直角三角形，故PM2＝PO2＋OM2＝a2＋.连接AM，在△ABM中，AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos∠ABM＝22＋－2×2××cos＝.
由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则
PA2＋PM2＝AM2，即a2＋3＋a2＋＝，
解得a＝或a＝－(舍去)，即PO＝.
此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB
＝·AO·OB＋·BM·OM
＝××1＋××
＝.
所以四棱锥P­ABMO的体积V四棱锥P­ABMO＝·S四边形ABMO·PO＝××＝.
20．解：(1)由已知可得解得a2＝6，b2＝2，
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)，
则直线TF的斜率kTF＝＝－m.
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得
消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.
设M为PQ的中点，则M点的坐标为.
所以直线OM的斜率kOM＝－，又直线OT的斜率kOT＝－，
所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.

22、解：（1），
～，又（5分）
（2）
～，

23解：（1）曲线C：，直线：。。。。。。。。。。。。。5分
（2） P（） 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

24.
22．