2022届-数学一轮(理科)-浙江专用-课时作业-第八章-解析几何-阶段回扣练8-.docx

阶段回扣练8　平面解析几何　
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题
1．(2021·北京西城区模拟)直线y＝2x为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线，则双曲线C的离心率是
(　　)
A. B. C. D.
解析　由题意知＝2，得b＝2a，c＝a，所以e＝＝，故选C.
答案　C
2．已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是
(　　)
A．(x－2)2＋y2＝13
B．(x＋2)2＋y2＝17
C．(x＋1)2＋y2＝40
D．(x－1)2＋y2＝20
解析　设圆心坐标为C(a,0)，则|AC|＝|BC|，即＝，解得a＝1，所以半径r＝＝＝2，所以圆C的方程是(x－1)2＋y2＝20.
答案　D
3．(2022·南昌模拟)方程(x2＋y2－2x)·＝0表示的曲线是
(　　)
A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线
C．一个圆 D．一条直线
解析　依题意，题中的方程等价于①x＋y－3＝0或②留意到圆x2＋y2－2x＝0上的点均位于直线x＋y－3＝0的左下方区域，即圆x2＋y2－2x＝0上的点均不满足x＋y－3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3＝0，故选D.
答案　D
4．(2022·东北三省四市联考)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的离心率为
(　　)
A. B.
C. D.
解析　由题意知双曲线的a＝，c＝2，所以e＝＝＝.
答案　B
5．(2021·福州质量检测)若直线x－y＋2＝0与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A，B两点，则·的值为
(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．10
解析　依题意，圆心C(3,3)到直线x－y＋2＝0的距离等于＝，cos＝，＝45°，∠ACB＝90°，·＝0，故选B.
答案　B
6．(2022·温州诊断)已知实数1，m,4构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为
(　　)
A. B. C.或 D.或3
解析　由已知得m＝±2.当m＝2时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a＝，
b＝1，c＝1，e＝；当m＝－2时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a＝1，b＝，c＝，e＝，故选C.
答案　C
7． (2022·乐清调研)已知点F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，且|PF2|＝2|PF1|，若△PF1F2为等腰三角形，则双曲线的离心率为
(　　)
A．3 B. C．2 D.
解析　依题意得|PF2|－|PF1|＝2a，又|PF2|＝2|PF1|，所以|PF2|＝4a，|PF1|＝2a.又△PF1F2为等腰三角形，所以|PF2|＝|F1F2|，即4a＝2c，所以双曲线的离心率为e＝＝2，故选C.
答案　C
8．(2022·海宁模拟)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为
(　　)
A．－2 B．－
C．1 D．0
解析　设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝42－，其中x≥1.因此，当x＝1时，·取得最小值－2，选A.
答案　A
二、填空题
9．(2022·成都诊断)已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：2x－y＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．
解析　依题意得＝－，解得a＝1.
答案　1
10．(2021·济南模拟)已知直线3x－4y＋a＝0与圆x2－4x＋y2－2y＋1＝0相切，则实数a的值为________．
解析　圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，由直线3x－4y＋a＝0与圆(x－2)2＋(y－1)2＝4相切得圆心(2,1)到直线的距离d等于半径，所以d＝＝2，解得a＝－12或8.
答案　－12或8
11．(2021·金华检测)已知双曲线S与椭圆＋＝1的焦点相同，假如y＝x是双曲线S的一条渐近线，那么双曲线S的方程为________．
解析　由题意可得双曲线S的焦点坐标是(0，±5)．又y＝x是双曲线S的一条渐近线，所以c＝5，＝，a2＋b2＝c2，解得a＝3，b＝4，所以双曲线S的标准方程为－＝1.
答案　－＝1
12．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．
解析　由题意知A点的坐标为(－a,0)，
设直线的方程为y＝x＋a，
∴B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为，
代入椭圆方程得a2＝3b2，∴2a2＝3c2，∴e＝.
答案　
13．(2022·淄博二模)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1和F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为________．
解析　抛物线的焦点坐标为，由题意知
＝，c＝2b，所以c2＝4b2＝4(c2－a2)，即4a2＝3c2，所以2a＝c，所以e＝＝＝.
答案　
14．(2022·湖州一模)已知抛物线y2＝4px(p＞0)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为________．
解析　依题意，得F(p,0)，由于AF⊥x轴，设A(p，y)，y>0，y2＝4p2，所以y＝2p.所以A(p,2p)．又点A在双曲线上，所以－＝1.又由于c＝p，所以－＝1，化简，得c4－6a2c2＋a4＝0，即4－62＋1＝0.所以e2＝3＋2，e＝＋1.
答案　＋1
15．(2022·山东卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为________．
解析　c2＝a2＋b2.
①
由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c知，
双曲线过点，
即－＝1.
②
由|FA|＝c，得c2＝a2＋，
③
由①③得p2＝4b2.
④
将④代入②，得＝2.
∴＝2，即＝1，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.
答案　x±y＝0
三、解答题
16．(2022·安徽卷)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
解　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
由于△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得，
|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得，
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，
可得F1A⊥F2A，
△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.
17．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l：y＝kx＋与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)设椭圆的焦半距为c，则由题设，得
解得所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，
故所求椭圆C的方程为＋x2＝1.
(2)存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.
理由如下：
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线l 的方程y＝kx＋代入＋x2＝1，
并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－1＝0.(*)
则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
由于以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，
所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝0.
又y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋3，
于是－－＋3＝0，解得k＝±，
经检验知：此时(*)式的Δ＞0，符合题意．
所以当k＝±时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.
18．(2022·浙江卷改编)如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上．

(1)求曲线C的方程及t的值．
(2)记d＝，求d的最大值．
解　(1)y2＝2px(p>0)的准线x＝－，
∴1－(－)＝，p＝，
∴抛物线C的方程为y2＝x.
又点M(t,1)在曲线C上，∴t＝1.
(2)由(1)知，点M(1,1)，从而n＝m，即点Q(m，m)，
依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，
设直线AB的斜率为k(k≠0)．
且A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1，
所以直线AB的方程为y－m＝(x－m)，
即x－2my＋2m2－m＝0.
由消去x，
整理得y2－2my＋2m2－m＝0，
所以Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.
从而|AB|＝ ·|y1－y2|＝·
＝2
∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1，
当且仅当m＝1－m，即m＝时，上式等号成立，
又m＝满足Δ＝4m－4m2>0.∴d的最大值为1.
19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝ ，且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
解　(1)由于e＝ ＝＝，
所以a2＝3b2，即椭圆C的方程可写为＋＝1.
设P(x，y)为椭圆C上任意给定的一点，
则d＝＝
＝(－b≤y≤b)．
当－b≤－1，即b≥1，dmax＝＝3得b＝1；
当－b>－1，即b<1，dmax＝＝3得b＝1(舍)．
∴b＝1，a＝，
故所求椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)存在点M满足要求，使△OAB的面积最大．理由如下：
假设存在满足条件的点M，由于直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，则圆心O到l的距离d＝<1.
由于点M(m，n)在椭圆C上，所以＋n2＝1<m2＋n2，
于是0<m2≤3.
由于|AB|＝2＝2 ，
所以S△OAB＝·|AB|·d＝
＝≤ ＝，
当且仅当1＝m2时等号成立，所以m2＝∈(0,3]．
因此当m＝±，n＝±时等号成立．
所以满足要求的点M的坐标为，，或，此时对应的三角形的面积均达到最大值.
20.(2022·浙江卷)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，＝3.

(1)若||＝3，求点M的坐标；
(2)求△ABP面积的最大值．
解　(1)由题意知焦点F(0,1)，准线方程为y＝－1.
设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得到y0＝2，所以P(2，2)或
P(－2，2)．
由＝3，分别得M或M.
(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)．
由得x2－4kx－4m＝0.
于是Δ＝16k2＋16m＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，
所以AB中点M的坐标为(2k,2k2＋m)．
由＝3，得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1)，
所以
由x＝4y0，得k2＝－m＋.
由Δ＞0，k2≥0，得－＜m≤.
又由于|AB|＝4·，
点F(0,1)到直线AB的距离为d＝.
所以S△ABP＝4S△ABF＝8|m－1|
＝ .
记f(m)＝3m3－5m2＋m＋1.
令f′(m)＝9m2－10m＋1＝0，
解得m1＝，m2＝1.
可得f(m)在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数．
又f＝＞f.
所以，当m＝时，f(m)取到最大值，
此时k＝±.
所以，△ABP面积的最大值为.