1、阶段回扣练8立体几何 (建议用时:90分钟)一、选择题1(2021汉中质量检测)设直线l平面,直线m平面()A若m,则lm B若,则lmC若lm,则 D若,则lm解析A中直线l与m相互垂直,不正确;B中依据两个平面平行的性质知是正确的;C中的与也可能相交;D中l与m也可能异面,也可能相交,故选B.答案B2如图,在三棱锥ABCD中,DA、DB、DC两两垂直,且DBDC,E为BC的中点,则等于()A3 B2C1 D0解析()()0.答案D3(2021济南模拟)已知直线m,n不重合,平面,不重合,下列命题正确的是()A若m,n,m,n,则B若m,n,则mnC若,m,n,则mnD若m,n,则mn解析由
2、面面平行的判定定理可知A中需增加条件m,n相交才正确,所以A错误;若m,n,则m,n平行或异面,B错误;若,m,n,则m,n平行、相交、异面都有可能,C错误;由直线与平面垂直的定义可知D正确,故选D.答案D4. (2022咸阳诊断)已知三棱锥的主视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,则该三棱锥的左视图可能为()解析由主视图和俯视图还原几何体如图所示,由主视图和俯视图对应线段可得ABBDAD2,当BC平面ABD时,BC2,ABD的边AB上的高为,只有B选项符合,当BC不垂直平面ABD时,没有符合条件的选项,故选B.答案B5(2022新余综合测试)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体
3、的体积为()A2 B4 C6 D12解析依题意,题中的几何体是半个圆柱,因此其体积等于2236.答案C6在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AEEBAFFD14,又H,G分别为BC,CD的中点,则()ABD平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形BEF平面BCD,且四边形EFGH是梯形CHG平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形DEH平面ADC,且四边形EFGH是梯形解析如图,由题意得EFBD,且EFBD.HGBD,且HGBD.EFHG,且EFHG.四边形EFGH是梯形又EF平面BCD,而EH与平面ADC不平行故选B.答案B7(2022北京卷)在空间直角坐标系Oxyz中,
4、已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,)若S1,S2,S3分别是三棱锥DABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则()AS1S2S3 BS2S1且S2S3CS3S1且S3S2 DS3S2且S3S1解析依据题目条件,在空间直角坐标系Oxyz中作出该三棱锥DABC,明显S1SABC222,S2S32.故选D.答案D8(2022陕西卷)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A. B4 C2 D.解析如图为正四棱柱AC1.依据题意得AC,对角面ACC1A1为正方形,外接球直径2RA1C2,R1,V球,故选D.
5、答案D9如图,ABCDA1B1C1D1是正方体,E、F分别是AD、DD1的中点,则平面EFC1B和平面BCC1所成二面角的正切值等于()A2 B. C. D.解析设正方体的棱长为2,建立以D为坐标原点,DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系,则E(1,0,0),F(0,0,1),(1,2,0),(1,0,1)易知平面BCC1的一个法向量为(0,2,0),设平面EFC1B的法向量为m(x,y,z),则mx2y0,mxz0,令y1,则m(2,1,2),故 cosm,tanm,2.故所求二面角的正切值为2.答案A10正三棱柱ABCA1B1C1的棱长都为2,E,F,G分别为AB,
6、AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析如图,取AB的中点E,建立如图所示空间直角坐标系Exyz.则E(0,0,0),F(1,0,1),B1(1,0,2),A1(1,0,2),C1(0,2),G.(2,0,1),(1,0,1),设平面GEF的一个法向量为n(x,y,z),由得令x1,则n(1,1),设B1F与平面GEF所成角为,则 sin | cosn,|.答案A二、填空题11(2022宝鸡模拟)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为_解析由三视图可得该几何体是一个侧放的直四棱柱,该四棱柱的底面是上底、下底、高分别为2,4,4,腰长
7、为的等腰梯形,所以两个底面面积和为2(24)424,侧棱长为4,所以侧面积为(242)4248,表面积为24248488.答案48812设OABC是四周体,G1是ABC的重心,G是OG1上一点,且OG3GG1,若xyz,则x_,y_,z_.解析()()()(),xyz.答案13(2022南昌调研)球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,ABC是边长为2的正三角形,平面SAB平面ABC,则三棱锥SABC的体积的最大值为_解析记球O的半径为R,作SDAB于D,连接OD、OS,易求R,易知SD平面ABC,留意到SD,因此要使SD最大,则需OD最小,而OD的最小值为,因此高SD的
8、最大值是1,又三棱锥SABC的体积为SABCSD22SDSD,因此三棱锥SABC的体积的最大值是1.答案14在菱形ABCD中,AB2,BCD60,现将其沿对角线BD折成直二面角ABDC(如图),则异面直线AB与CD所成角的余弦值为_解析如图,取BD的中点O,连接AO、CO,建立空间直角坐标系,AB2,BCD60,A(0,0,),B(1,0,0),D(1,0,0),C(0,0),(1,0,),(1,0), cos,.故所求异面直线所成角的余弦值为.答案15已知O点为空间直角坐标系的原点,向量(1,2,3),(2,1,2),(1,1,2),且点Q在直线OP上运动,当取得最小值时,的坐标是_解析点Q
9、在直线OP上,设点Q(,2),则(1,2,32),(2,1,22),(1)(2)(2)(1)(32)(22)62161062.当时,取得最小值.此时.答案三、解答题16. (2022湖南卷)如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的全部棱长都相等,ACBDO,A1C1B1D1O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明:O1O底面ABCD;(2)若CBA60,求二面角C1OB1D的余弦值(1)证明如图,由于四边形ACC1A1为矩形,所以CC1AC,同理DD1BD,由于CC1DD1,所以CC1BD,而ACBDO,因此CC1底面ABCD.由题设知O1OC1C,故O1O底面ABCD.(
10、2)解由于四棱柱ABCDA1B1C1D1的全部棱长都相等,所以四边形ABCD是菱形,因此ACBD,又由(1)知O1O底面ABCD,从而OB、OC、OO1两两垂直如图,以O为坐标原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Oxyz,不妨设AB2,由于CBA60,所以OB,OC1,于是相关各点的坐标为O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2)易知,n1(0,1,0)是平面BDD1B1的一个法向量设n2(x,y,z)是平面OB1C1的法向量,则即取z,则x2,y2,所以n2(2,2,),设二面角C1OB1D的大小为,易知是锐角,于是 cos | cosn1,n
11、2 |.17如图1,在直角梯形ABCP中,BCAP,ABBC,CDAP,ADDCPD2,E,F,G分别是线段PC,PD,BC的中点,现将PDC折起,使平面PDC平面ABCD,如图2所示(1)求证:AP平面EFG;(2)求二面角GEFD的大小(1)证明易知四边形ABCD为正方形,且PD平面ABCD,以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),F(0,0,1),E(0,1,1),G(1,2,0)设平面EFG的法向量为n(x,y,z)(0,1,0),(1,1,1),ny0,nxyz0,取x1,则n(1,0,1)又(2,0,2),n0,AP/平面E
12、FG,AP平面EFG.(2)解易知平面EFD的一个法向量为(2,0,0)由(1)知平面EFG的一个法向量为 n(1,0,1)设二面角GEFD的大小为,则| cos | cos,n|.由图知二面角GEFD的平面角为锐角,二面角GEFD的大小为45. 18(2022陕西卷)四周体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四周体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.(1)证明:四边形EFGH是矩形;(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值(1)证明由该四周体的三视图可知,BDDC,BDAD,ADDC,BDDC2,AD1.由题设,BC平面EFGH,平面EFGH平面BDC
13、FG,平面EFGH平面ABCEH,BCFG,BCEH,FGEH.同理EFAD,HGAD,EFHG,四边形EFGH是平行四边形又ADDC,ADBD,AD平面BDC,ADBC,EFFG,四边形EFGH是矩形(2)解如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),(0,0,1),(2,2,0),(2,0,1)设平面EFGH的法向量n(x,y,z),EFAD,FGBC,n0,n0,得取n(1,1,0), sin |cos,n |.即直线AB与平面EFGH夹角的正弦值为.19.已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,A
14、D2,AB1,E、F分别是线段AB、BC的中点(1)求证:PFFD;(2)在PA上找一点G,使得EG平面PFD;(3)若PB与平面ABCD所成的角为45,求二面角APDF的余弦值(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0),不妨令P(0,0,t),t0.(1,1,t),(1,1,0),111(1)(t)00.PFFD.(2)解设平面PFD的法向量为n(x,y,z),由得令z1,则n(,1),设G(0,0,m),E(,0,0),(,0,m),由题意n0,m0,mt,当G是线段PA的靠近于A的一个四等分点时,使得EG平面PFD.(3)解PA平面ABCD,PBA就是PB与平面ABCD所成的角,即PBA45 ,PAAB1,P(0,0,1),由(2)知平面PFD的一个法向量为n(,1)易知平面PAD的一个法向量为(1,0,0), cos,n.由图知,二面角APDF的平面角为锐角,所以,二面角APDF的余弦值为.