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第8讲 曲线与方程
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2021·舟山质检)已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是
( )
A．满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上
B．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程
C．方程f(x，y)＝0所表示的曲线不肯定是C
D．以上说法都正确
解析 曲线C可能只是方程f(x，y)＝0所表示的曲线上的某一小段，因此只有C正确．
答案 C
2．设圆C与圆x2＋(y－3)2 ＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为
( )
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
解析 设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线．
答案 A
3．(2021·大连模拟)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为
( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)
解析 MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，
∴P的轨迹是以原点O为圆心，以r＝2为半径的圆，除去与x轴的两个交点．
答案 D
4．(2021·宁波模拟)已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为
( )
A. y＝－2x B．y＝2x
C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
解析 设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，点A是线段RP的中点，∴即
∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
答案 B
5．(2021·浙大附中一模)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是
( )
A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线
解析 设C(x，y)，由于＝λ1＋λ2，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即
解得又λ1＋λ2＝1，
所以＋＝1，即x＋2y＝5 ，
所以点C的轨迹为直线，故选A.
答案 A
二、填空题
6．已知两定点A(－2,0)、B(1,0)，假如动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为_________．
解析 设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
得＝2，
∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.
∴P的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆．
即轨迹所包围的面积等于4π.
答案 4π
7．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程是________________．
解析 ＝－(－2，y)＝，＝(x，y)－＝，∵⊥，∴·＝0，
∴·＝0，即y2＝8x.∴动点C的轨迹方程为y2＝8x.
答案 y2＝8x
8．设P是圆x2＋y2＝100上的动点，点A(8,0)，线段AP的垂直平分线交半径OP于M点，则点M的轨迹为__________．
解析 如图，设M(x，y)，由于l是AP的垂直平分线，于是|AM|＝|PM|，又由于10＝|OP|＝|OM|＋|MP|＝|OM|＋|MA|，即|OM|＋|MA|＝10，也就是说，动点M到O(0,0)及A(8,0 )的距离之和是10，故动点M的轨迹是以O(0,0)、A(8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆．
答案 椭圆
三、解答题
9．设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．
解 设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，
∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，
∴(x0，－y0)·(1, －y0)＝0，∴x0＋y＝0.
由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴即∴－x＋＝0，
即y2＝4x.故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.
10．已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4，动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
解 如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由|O1O2|＝4，
得O1(－2,0)、O2(2,0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；
由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.
∴|MO2|－|MO1|＝3.
∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，
实轴长为3的双曲线的左支．
∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝.
∴点M的轨迹方程为－＝1(x≤－)．
力量提升题组
(建议用时：35分钟)
11．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是
( )
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
解析 由已知得，|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．
答案 D
12．(2021·杭州模拟)坐标平面上有两个定点A，B和动点P，假如直线PA，PB的斜率之积为定值m，则点P的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线．试将正确的序号填在横线上：_________.
解析 设A(a,0)，B(－a,0)，P(x，y)，
则·＝m，即y2＝m(x2－a2)．
①当m＝－1时，为圆；②当m＞0时，为双曲线；③当m＜0且m≠－1时为椭圆；④当m＝0时，为直线．故选①②④⑤.
答案 ①②④⑤
13．(2021·台州质检)P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2 是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是_________．
解析 由于＝＋，
又＋＝P＝2＝－2，
设Q(x，y)，
则＝－＝(－，－)，
即P点坐标为(－，－)，
又P在椭圆上，则有＋＝1上，
即＋＝1.
答案 ＋＝1
14.(2021·烟台模拟)已知点C(1,0)，点A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．
(1)求点P的轨迹T的方程；
(2)摸索究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
解 (1)分别连接CP，OP，由·＝0，知AC⊥BC，
∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，
由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，
即|OP|2＋|CP|2＝9，
设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，
化简，得x2－x＋y2＝4.
(2)存在，依据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1.
∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，
由方程组得x2＋3x－4＝0，
解得x1＝1，x2＝－4，由x≥0，故取x＝1，此时y＝±2.
故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．
15．如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|＝2|DP|.当点P在圆x2＋y2＝1上运动时．
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点T(0，t)作圆x2＋y2＝1的切线l交曲线C于A、B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．
解 (1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，
则x＝x0，y＝2y0，所以x0＝x，y0＝，①
由于P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，所以x＋y＝1.②
将①代入②，得点M的轨迹C的方程为x2＋＝1.
(2)由题意知，|t|≥1.
当t＝1时，切线l的方程为y＝1，
点A、B的坐标分别为(－，1)，(，1)，
此时|AB|＝，当t＝－1时，同理可得|AB|＝；
当|t|>1时，设切线l的方程为y＝kx＋t，k∈R，
由得(4＋k2)x2＋2ktx＋t2－4＝0.③
设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由③得
x1＋x2＝－，x1x2＝.
又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，
即t2＝k2＋1，
所以|AB|＝
＝ ＝.
由于|AB|＝＝，
且当t＝±时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.
依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2＋y2＝1的半径，
所以△AOB面积S的最大值为×2×1＝1，
此时t＝±，相应的点T的坐标为(0，－)或(0，).
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