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第7讲 抛物线
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2021·合肥质量检测)抛物线x2＝y的焦点坐标为
( )
A. B. C. D.
解析 抛物线x2＝y的焦点坐标是.
答案 D
2．(2022·西宁复习检测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为
( )
A．2 B．1 C. D.
解析 曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2，故选A.
答案 A
3．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是
( )
A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2
解析 分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.
答案 D
4．(2021·福建质量检查)已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，一条渐近线为l，抛物线C2：y2＝4x的焦点为F，点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点，则|PF|＝
( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析 依题意，不妨设直线l：y＝x，则由
得或此时点P(4,4)，|PF|＝4＋1＝5，
故选D.
答案 D
5．(2022·新课标全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝
( )
A. B．6 C．12 D．7
解析 焦点F的坐标为，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y＝，
即y＝x－，代入y2＝3x，得x2－x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，故选C.
答案 C
二、填空题
6．(2021·北京西城区模拟)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M为抛物线C上一点，且点M的横坐标为2，则|MF|＝________.
解析 由抛物线的定义可知|MF|＝xM＋＝2＋1＝3.
答案 3
7．(2022·台州高三模拟)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的左顶点，则p＝________.
解析 由题意知抛物线的准线为x＝－，双曲线x2－y2＝1的左顶点为(－1,0)，所以－＝－1，p＝2.
答案 2
8．(2022·银川质量检测)已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________．
解析 依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝2x1，y＝2x2，两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
答案 x－y－1＝0
三、解答题
9.如图，已知抛物线y2＝2px (p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．
解 设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，
则直线OB的方程为y＝－x，
由得x＝0或x＝.
∴A点坐标为，同理得B点坐标为(2pk2，－2pk)，
由|OA|＝1，|OB|＝8，可得
②÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4.
则p2＝＝.
又p>0，则p＝，故所求抛物线方程为y2＝x.
10．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)设l的斜率为1，求|AB|；
(2)求证：·是一个定值．
(1)解 ∵由题意可知抛物线的焦点F为(1,0)，准线方程为x＝－1，∴直线l的方程为y＝x－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，
由直线l过焦点，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.
(2)证明 设直线l的方程为x＝ky＋1，
由得y2－4ky－4＝0.
∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．
∵·＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2
＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.
∴·是一个定值．
力量提升题组
(建议用时：35分钟)
11．(2021·太原模拟)已知P是抛物线y2＝2x上动点，A，若点P到y轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，则d1＋d2的最小值是
( )
A．4 B. C．5 D.
解析 由于点P在抛物线上，所以d1＝|PF|－(其中点F为抛物线的焦点)，则d1＋d2＝|PF|＋|PA|－≥|AF|－＝－＝5－＝，当且仅当点P是线段AF与抛物线的交点时取等号，故选B.
答案 B
12．(2022·四川卷)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是
( )
A．2 B．3 C. D.
解析 如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m＞0，n＜0，则＝(m2，m)，O＝(n2，n)，·＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.
∴lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝2，∴C(2,0)．
S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×m＋×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝××m＝m，则S△AOB＋S△AOF＝m－n＋m＝m－n＝m＋≥2＝3，当且仅当m＝，即m＝时等号成立．故△ABO与△AFO面积之和的最小值为3.
答案 B
13．(2022·湖南卷)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．
解析 设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.过点P(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．
由得ky2－4y＋4k＝0.
当k＝0时，明显不符合题意；
当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k＜0，
化简得k2－1＞0，解得k＞1或k＜－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
14．(2021·福建卷)如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.
(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；
(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．
解 (1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1.
由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，
所以点C到准线l的距离d＝2，又|CO|＝，
所以|MN|＝2＝2＝2.
(2)设C(，y0)，则圆C的方程为
(x－)2＋(y－y0)2＝＋y，
即x2－x＋y2－2y0y＝0.
由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋＝0，
设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则
由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，
所以＋1＝4，解得y0＝±，此时Δ>0.
所以圆心C的坐标为(，)或(，－)，
从而|CO|2＝，|CO|＝，即圆C的半径为.
15．设点F，动圆P经过点F且和直线y＝－相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.
(1)求曲线W的方程；
(2)过点F作相互垂直的直线l1，l2分别交曲线W于A，B和C，D.求四边形ACBD面积的最小值．
解 (1)过点P作PN垂直于直线y＝－于点N，依题意得|PF|＝|PN|，所以动点P的轨迹是以F为焦点，直线y＝－为准线的抛物线，即曲线W的方程是x2＝6y.
(2)如图所示，依题意，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设直线l1的方程为y＝kx＋，由l1⊥l2
得l2的方程为y＝－x＋.
将y＝kx＋代入x2＝6y，化简得x2－6kx－9＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6k，x1x2＝－9，
∴|AB|＝
＝＝6(k2＋1)．
同理可得|CD|＝6，
∴四边形ACBD的面积S＝|AB|·|CD|
＝18(k2＋1)＝18≥72.
当且仅当k2＝，即k＝±1时，Smin＝72，
故四边形ACBD面积的最小值是72.
16．(2022·台州质量评估)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点K(0，－1)的直线l与C相交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为D.
(1)证明：点F在直线BD上；
(2)设·＝，求∠DBK的平分线与y轴的交点坐标．
(1)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(－x1，y1)，l的方程为y＝kx－1，由得x2－4kx＋4＝0，
从而x1＋x2＝4k，x1x2＝4.
直线BD的方程为y－y1＝(x＋x1)，
即y－＝(x＋x1)，
令x＝0，得y＝＝1，所以点F在直线BD上．
(2)解 由于F·F＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝8－4k2，
故8－4k2＝，解得k＝±，
所以l的方程为4x－3y－3＝0,4x＋3y＋3＝0.
又由(1)得x2－x1＝±＝±，
故直线BD的斜率为＝±，
因而直线BD的方程为x－3y＋3＝0，x＋3y－3＝0.
设∠DBK的平分线与y轴的交点为M(0，t)，
则M(0，t)到l及BD的距离分别为，，
由＝，得t＝或t＝9(舍去)，
所以∠DBK的平分线与y轴的交点为M.
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