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第5讲 空间向量及其运算
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是
( )
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
解析 由题意得，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，
∴＝－3，
∴与共线，又与没有公共点．
∴AB∥CD.
答案 B
2．有以下命题：①假如向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系是共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C肯定共面；③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底．其中正确的命题是
( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
解析 对①易知a，b与空间任何向量共面，所以a，b共线，①正确；②明显正确；
对③可结合平行六面体说明其正确性．
答案 D
3．(2021·济南月考)O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点
( )
A．肯定不共面 B．肯定共面
C．不肯定共面 D．无法推断
解析 ∵＝＋＋，且＋＋＝1.∴P，A，B，C四点共面．
答案 B
4．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为
( )
A．－2 B．－ C. D．2
解析 由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，
∴14－7λ＝0，∴λ＝2.
答案 D
5．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则·的值为
( )
A．a2 B.a2 C.a2 D.a2
解析
如图，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
＝(a＋b)，＝c，
∴·＝(a＋b)·c
＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.
答案 C
二、填空题
6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于________．
解析 ∵a，b，c共面，且明显a，b不共线，
∴c＝xa＋yb，
∴
由①②解得
代入③得λ＝.
答案
7．在四周体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
解析 ＝＋＝＋×(＋)
＝＋×(－＋－)
＝＋＋
＝a＋b＋c.
答案 a＋b＋c
8．A、B、C、D是空间不共面四点，且·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的外形是________三角形(填锐角，直角，钝角中的一个)．
解析 ·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋2
＝2＞0，
∴∠CBD为锐角．
同理∠BCD，∠BDC均为锐角．
答案 锐角
三、解答题
9．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c.
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．
解 (1)∵c∥，＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，
∴c＝m＝m(－2，－1,2)
＝(－2m，－m,2m)，
∴|c|＝＝3|m|＝3，
∴m＝±1.
∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．
(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，
又∵|a|＝＝，
|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长．
解 ∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°，
又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，
∴||＝＝
＝
＝
＝，∴||＝2或.
∴BD的长为2或.
力量提升题组
(建议用时：35分钟)
11．有下列命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；
②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；
③若＝x＋y，则P，M，A，B共面；
④若P，M，A，B共面，则＝x＋y.
其中真命题的个数是
( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 其中①③为真命题．
答案 B
12．已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是
( )
A．(4,0,3) B．(3,1,3)
C．(1,2,3) D．(2,1,3)
解析 设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为x，y，z.则
p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，①
由于p在{a，b，c}下的坐标为(4,2,3)
∴p＝4a＋2b＋3c，②
由①②得∴
即p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为(3,1,3)．
答案 B
13．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．
解析 由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.
即2a·c＋b·c＝－10，
又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，
∴cos〈b，c〉＝＝＝－，
∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.
答案 60°
14．如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
(1)证明 设＝a，＝b，＝c，
依据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴＝b＋c，＝－c＋b－a，
∴·＝－c2＋b2＝0.
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)解 ＝－a＋c，＝b＋c，
∴||＝|a|，||＝|a|.
·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝.
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
15．(2021·江苏淮安检测)如图所示，以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点P在正方体的对角线AB上，点Q在棱CD上．
(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值；
(2)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值．
解 (1)由于B(0,0，a)，A(a，a,0)，P为AB的中点，所以P.又由于Q在CD上运动，
所以可设Q(0，a，z0)，其中z0∈[0，a]，因此
PQ＝
＝，
可知，当z0＝时，PQ取最小值a.
(2)明显，当P在AB上运动时，P到坐标平面xOz、yOz的距离相等，且P在第一象限，所以可设P(t，t，a－t)，t∈[0，a]，又Q在CD上运动，所以可设Q(0，a，z0)，z0∈[0，a]，
所以PQ＝
＝
＝ ，
当且仅当z0＝t＝时，PQ取最小值a.
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