2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：选修4-1-第1讲-相似三角形的判定及有关性质.docx

选修4-1 几何证明选讲
第1讲 相像三角形的判定及有关性质
一、填空题
1．如图，已知M是▱ ABCD的边AB的中点，CM交BD于E，图中阴影部分面积与▱ABCD的面积之比为________．
解析 S△BMD＝S△ABD＝S▱ABCD，
由BM∥CD，得△DCE∽△BME，
则DE∶BE＝CD∶BM＝2∶1，
所以S△DME∶S△BMD＝DE∶BD＝2∶3，
即S△DME＝S△BMD，又S△DME＝S△BCE，
所以S阴影＝2S△DME＝S△BMD
＝×S▱ABCD＝S▱ABCD，
即S阴影∶S▱ABCD＝1∶3.
答案 1∶3
2．梯形ABCD中，AD∥BC，AD∶BC＝a∶b.中位线EF＝m，则MN的长是________．
解析 易知EF＝(AD＋BC)，
EM＝AD.FN＝AD.
又AD∶BC＝a∶b，设AD＝ak.则BC＝bk.
∵EF＝(AD＋BC)，∴m＝(a＋b)，∴k＝.
∴MN＝EF－EM－NF＝m－ak－ak
＝m－ak＝.
答案
3. 如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12，则EF＝________.
解析　∵AB∥CD∥EF，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
∴4(BC－BF)＝12BF，∴BC＝4BF，
∴＝＝，∴EF＝3.
答案　3
4. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交于BC于F，则＝________.
解析　如图，过点D作DG∥AF，交BC于点G，易得FG＝GC，又在三角形BDG中，BE＝DE，即EF为三角形BDG的中位线，故BF＝FG，因此＝.
答案　
5. 如图，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相像比是________．
解析　∵E为AB中点，∴＝，即AE＝AB，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝AB，
又∵Rt△AED∽Rt△ACB，∴相像比为＝.
故△ADE与△ABC的相像比为1∶.
答案　1∶
6. 如图，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于M，则BM＝________，CG＝________.
解析　∵AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，∴＝，＝.∴＝，∴BM＝4.
取BC的中点P，作PQ∥DH交EH于Q，如图，则PQ是梯形ADHE的中位线，
∴PQ＝(AE＋DH)＝(12＋16)＝14.
同理：CG＝(PQ＋DH)＝(14＋16)＝15.
答案　4　15
7．如图所示，已知点D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝8，则AE的长为________．
解析 ∵AE∥BC，AD＝DC，
∴＝＝1，∴AE＝CF.
∵AE∥BF，BG∶GA＝3∶1，∴＝＝，∴＝.∵BC＝8，∴AE＝4.
答案 4
8. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.若DB＝9，则BM＝________.
解析　∵E是AB的中点，
∴AB＝2EB.
∵AB＝2CD，∴CD＝EB.
又AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形．
∴CB∥DE，∴
∴△EDM∽△FBM.∴＝.
∵F是BC的中点，∴DE＝2BF.
∴DM＝2BM.∴BM＝DB＝3.
答案　3
二、解答题
9．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE＝AC，BD＝AB，点F在BC上，且CF＝BC.求证：
(1)EF⊥BC；
(2)∠ADE＝∠EBC.
证明　设AB＝AC＝3a，则AE＝BD＝a，CF＝a.
(1)＝＝，＝＝
又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°.
∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC.
(2)由(1)得EF＝a，
故＝＝，＝＝，
∴＝.∵∠DAE＝∠BFE＝90°，
∴△ADE∽△FBE，
∴∠ADE＝∠EBC.
10．如图，已知B在AC上，D在BE上，且AB∶BC＝2∶1，ED∶DB＝2∶1，求AD∶DF.

解 如图，过D作DG∥AC交FC于G(还可过B作EC的平行线)．
∵＝＝，
∴DG＝BC.
∵BC＝AC，∴DG＝AC.
∴＝＝，∴DF＝AF，
从而AD＝AF，故AD∶DF＝7∶2.