2022高考总复习(人教A版)高中数学-第六章-不等式、推理与证明-第6讲-数学归纳法.docx

第6讲　数学归纳法

数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
[做一做]
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．0
答案：C

1．辨明两个易误点
(1)数学归纳法证题时，误把第一个值n0认为是1，如证明多边形内角和定理(n－2)π时，初始值n0＝3.
(2)数学归纳法证题的关键是其次步，证题时应留意：
①必需利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n＝k到n＝k＋1增加了哪些项或削减了哪些项．
2．明确数学归纳法的两步证明
数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不行．第一步是递推的基础，其次步是递推的依据，其次步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时确定要运用它，否则就不是数学归纳法．其次步的关键是“一凑假设，二凑结论”．
[做一做]
2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增加的代数式是(　　)
A．2k＋2 B．2k＋3
C．2k＋1 D．(2k＋2)＋(2k＋3)
答案：D
,[同学用书P116～P117])

__用数学归纳法证明等式______________

　用数学归纳法证明：
＋＋＋…＋＝(n∈N*)．
[证明]　(1)当n＝1时，左边＝＝，
右边＝＝.
左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有
＋＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋
＝＋＝
＝＝＝.
所以当n＝k＋1时，等式也成立，
由(1)、(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．
[规律方法]　用数学归纳法证明恒等式应留意：(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时命题的真假(必不行少)．(2)“假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立”并写出命题形式分析“n＝k＋1”时命题是什么，然后找出与“n＝k”时命题形式的差别．(3)弄清左端应增加或削减的项，明确等式左端变形目标，把握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不行少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．
　　　1.设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
证明：(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，
右边＝2＝1，
左边＝右边，等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，
即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，当n＝k＋1时，
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)
＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k
＝(k＋1)－k
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)
＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时结论照旧成立．
由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
__用数学归纳法证明不等式____________

　设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋(n＝1，2，…)．证明：an＞对一切正整数n都成立．
[证明]　当n＝1时，a1＝2＞，不等式成立．
假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，ak＞成立．
那么当n＝k＋1时，
a＝a＋＋2＞2k＋3＋＞2(k＋1)＋1.
∴当n＝k＋1时，ak＋1＞成立．
综上，an＞对一切正整数n都成立．
[规律方法]　数学归纳法证明不等式应留意：
(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他方法不简洁证，则可考虑应用数学归纳法；
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可接受分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．
　　　2.已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a.
求证：当n∈N*时，an<an＋1.
证明：(1)当n＝1时，由于a2是方程a＋a2－1＝0的正根，所以a1<a2.
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤ak<ak＋1，
则由a－a＝(a＋ak＋2－1)－(a＋ak＋1－1)
＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0，
得ak＋1<ak＋2，即当n＝k＋1时，an<an＋1也成立．
依据(1)和(2)，可知an<an＋1对任何n∈N*都成立．
__归纳—猜想—证明____________________

　已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝，n∈N*.猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论。
[解]　由x1＝及xn＋1＝，得x2＝，x4＝，x6＝.
由x2>x4>x6，猜想：数列{x2n}是递减数列．
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，已证命题成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即x2k>x2k＋2，
易知xk>0，那么
x2k＋2－x2k＋4＝－
＝
＝
＝>0，
即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.
也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．
结合①和②知命题成立．
[规律方法]　“归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观看有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探究性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．
　　　3.(2021·江苏南京模拟)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
(1)写出a1，a2，a3，并推想an的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
解：(1)将n＝1，2，3分别代入可得a1＝，a2＝，a3＝，猜想an＝2－.
(2)证明：①由(1)得n＝1时，命题成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即ak＝2－，
那么当n＝k＋1时，
a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，
且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，
∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，
∴2ak＋1＝2＋2－，ak＋1＝2－，
即当n＝k＋1时，命题也成立．
依据①、②得，对一切n∈N*，an＝2－都成立．

1．假如命题p(n)对n＝k(k∈N*)成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是(　　)
A．p(n)对全部正整数n都成立
B．p(n)对全部正偶数n都成立
C．p(n)对全部正奇数n都成立
D．p(n)对全部自然数n都成立
解析：选B.由题意n＝k成立，则n＝k＋2也成立，又n＝2时成立，则p(n)对全部正偶数都成立．
2．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为(　　)
A．f(n)＋n＋1　　　　　 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
解析：选C.边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．
3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的其次步是(　　)
A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(其中k∈N*)
B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(其中k∈N*)
C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(其中k∈N*)
D．假设n＝k时正确，再推n＝k＋2时正确(其中k∈N*)
解析：选B.∵n为正奇数，∴n＝2k－1(k∈N*)．
4．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.由a1＝，Sn＝n(2n－1)an，求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝.
5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上增加的代数式是________．
解析：∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，
当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上增加(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
6．(2021·皖南三校联考)设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)＝________，f(n)＝________．(n≥1，n是自然数)
解析：易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n＋1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n＋1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，从而f(n)＝n2－n＋2.
答案：4　n2－n＋2
7．(2022·高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)由题意知S2＝4a3－20，∴S3＝S2＋a3＝5a3－20.
又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8.
又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，
∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.
综上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.
(2)由(1)猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明．
①当n＝1时，结论明显成立；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，ak＝2k＋1，
则Sk＝3＋5＋7＋…＋(2k＋1)＝＝k(k＋2)．
又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，
∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k，解得2ak＋1＝4k＋6，
∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立．
由①②知，对于∀n∈N*，an＝2n＋1.
8．设实数c>0, 整数p>1，证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px.
证明：用数学归纳法证明．
①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．
②假设当p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．
则当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.
所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．
综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，
不等式(1＋x)p>1＋px均成立．
9．将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜想S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
…
解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；
当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；
当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；
当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.
猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．依据(1)和(2)，可知对于任意的n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．