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本册综合测试(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数等于( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析 ＝＝＝1＋i.
答案 A
2．下列推理正确的是( )
A．假如不买彩票，那么就不能中奖．由于你买了彩票，所以你肯定中奖
B．由于a>b，a>c，所以a－b>a－c
C．若a>0，b>0，则lga＋lgb≥2
D．若a>0，b<0，则＋＝－≤
－2＝－2
答案 D
3．a＝0是复数a＋bi(a、b∈R)为纯虚数的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
4．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为＝60＋90x，下列推断正确的是( )
A．劳动生产率为1000元时，工资为50元
B．劳动生产率提高1000元时，工资提高150元
C．劳动生产率提高1000元时，工资提高90元
D．劳动生产率为1000元时，工资为90元
答案 C
5．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：
在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( )
A．①—综合法，②—分析法
B．①—分析法，②—综合法
C．①—综合法，②—反证法
D．①—分析法，②—反证法
答案 A
6．学校教职成员、老师、后勤人员、理科老师、文科老师的结构图正确的是( )
答案 A
7．已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，则p＋q的值为( )
A．22 B．36
C．38 D．42
解析 把x＝－3＋2i代入方程2x2＋px＋q＝0，得2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，整理得(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0.
∵p，q∈R，∴解得
∴p＋q＝38.
答案 C
8．阅读下面的程序框图，若输出s的值为－7，则推断框内可填写( )
A．i<3
B．i<4
C．i<5
D．i<6
解析 i＝1，s＝2；
s＝2－1＝1，i＝1＋2＝3；
s＝1－3＝－2，i＝3＋2＝5；
s＝－2－5＝－7，i＝5＋2＝7.
因输出s的值为－7，循环终止，故推断框内应填“i<6”．
答案 D
9．在流程图中，一个算法步骤到另一个算法步骤的连接用( )
A．连接点 B．推断框
C．流程线 D．处理框
答案 C
10．“金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是( )
A．完全归纳推理 B．归纳推理
C．类比推理 D．演绎推理
答案 B
11．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4猜想an等于( )
A. B.
C. D.
解析 ∵a1＝1，Sn＝n2·an，
∴a1＋a2＝22·a2，⇒a2＝；
由a1＋a2＋a3＝32·a3，得a3＝；
由a1＋a2＋a3＋a4＝42·a4，
得a4＝…，
猜想an＝.
答案 B
12．满足条件|z－i|＝|3－4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是( )
A．一条直线 B．两条直线
C．圆 D．椭圆
解析 |z－i|＝|3－4i|＝5，
∴复数z对应点到定点(0,1)的距离等于5，故轨迹是个圆．
答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝a＋bxi＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒为0，则R2等于________．
解析 由于ei恒为0，即解释变量与预报变量成函数关系，此时两变量间的相关指数R2＝1.
答案 1
14．某地联通公司推出10011电话服务，其中话费查询业务流程如下：
假如某人用手机查询该机卡上余额，该如何操作？__________.
答案 该人用手机拨通10011电话，按1号键，再按2号键，便可查询该手机卡上的余额
15．若f(a＋b)＝f(a)·f(b)，(a，b∈N)，且f(1)＝2，则＋＋＋＋＝________.
解析 由f(a＋b)＝f(a)·f(b)可知，对∀n∈N有f(n＋1)＝f(n)f(1)＝f(n)·2，∴＝2，
∴＋＋＋＋＝10.
答案 10
16．观看下列不等式：
1＋<.
1＋＋<，
1＋＋＋<，
…
照此规律，第五个不等式为________．
解析 观看各不等式的特点，易写出第四个不等式为1＋＋＋＋<，
第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.
答案 1＋＋＋＋＋<
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知：x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2.
求证：a，b中至少有一个不小于0.
证明 假设a，b都小于0，
即a<0，b<0，则a＋b<0.
又a＋b＝x2－1＋2x＋2＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，
这与假设所得a＋b<0冲突，故假设不成立．
∴a，b中至少有一个不小于0.
18．(12分)某大型企业人力资源部为争辩企业员工工作乐观性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：
乐观支持企业改革
不太赞成企业改革
合计
工作乐观
54
40
94
工作一般
32
63
95
合计
86
103
189
对于人力资源部的争辩项目，依据上述数据能得出什么结论？
解 由K2公式得
K2＝≈10.759
由于10.759>7.879
所以有99.5%的把握说：员工“工作乐观”与“乐观支持企业改革”是有关的，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作的乐观性是有关的．
19．(12分)用综合法或分析法证明：
(1)假如a>0，b>0，那么lg≥；
(2)设x>0，y>0，求证：(x2＋y2)>(x3＋y3).
证明 (1)综合法：
∵a>0，b>0，∴≥，
∴lg≥lg，
又lg＝lgab＝，
∴lg≥.
分析法：∵a>0，b>0，
∴a＋b>0，要证lg≥，
只需证2lg≥lgab，
即证lg()2≥lgab，
只需证()2≥ab，
即证(a＋b)2≥4ab，
即证(a－b)2≥0.
而(a－b)2≥0恒成立．
故原不等式成立．
(2)∵x>0，y>0，
∴要证明(x2＋y2)>(x3＋y3)，
只需证明(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，
即证x2y2(3x2－2xy＋3y2)>0，
只需证3x2－2xy＋3y2>0.
∵3x2－2xy＋3y2＝3(x－)2＋y2>0成立，
∴原式成立．
20．(12分)高考成果公布后，考生假如认为公布的高考成果与本人估算的成果有误，可以在规定的时间申请查分．
(1)本人填写《查分登记表》交县(区)招办申请查分，县(区)呈交市招办，再报省招办；
(2)省招办复查，无误，则查分工作结束后通知；有误，则再具体认定，并改正，也在查分工作结束后通知；
(3)市招办接通知，再由县(区)招办通知考生．
试画出该大事的流程图．
解 流程图如下：
21．(12分)先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题：
已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1.
求证：a＋a≥.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，
则f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a
＝2x2－2x＋a＋a.
由于对一切x∈R，恒有f(x)≥0，
所以Δ＝4－8(a＋a)≤0.从而得a＋a≥.
(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，试写出上述结论的推广式；
(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明．
解 (1) 若a1，a2，…，an∈R，
a1＋a2＋…＋an＝1.
求证：a＋a＋…＋a≥.
(2) 构造函数
f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2
＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a.
由于对∀x∈R，恒有f(x)≥0，
所以Δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n(a＋a＋…＋a)≤0，
从而得：a＋a＋…＋a≥＝.
22．(12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程；
(3)试猜测广告支出为10百万元时，销售额多大？
(注：b＝，a＝－b)．
解 (1) 依据表中所列数据可得散点图如下：
(2) 列出下表，并用科学计算器进行有关计算
i
1
2
3
4
5
xi
2
4
5
6
8
yi
30
40
60
50
70
xiyi
60
160
300
300
560
因此，＝＝5，＝＝50
＝145，＝13500，
iyi＝1380，
于是可得b＝＝
＝6.5；
a＝－b＝50－6.5×5＝17.5.
因此，所求回归直线方程为＝6.5x＋17.5.
(3) 据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)
即这种产品的销售收入大约为82.5百万元．
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