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电磁感应中的动力学和能量问题
1．(2021·山东泰安模拟，20)(单选)如图1所示，间距为L，电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端用一阻值为R的电阻连接，导轨上横跨一根质量为m，电阻也为R的金属棒，金属棒与导轨接触良好．整个装置处于竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中．现使金属棒以初速度v0沿导轨向右运动，若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为q.下列说法正确的是
( )．
图1
A．金属棒在导轨上做匀减速运动
B．整个过程中电阻R上产生的焦耳热为
C．整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为
D．整个过程中金属棒克服安培力做功为
解析 设某时刻金属棒的速度为v，则此时的电动势E＝BLv，安培力F安＝，由牛顿其次定律有F安＝ma，则金属棒做加速度减小的减速运动，选项A错误；由能量守恒定律知，整个过程中克服安培力做功等于电阻R和金属棒上产生的焦耳热之和，即W安＝Q＝mv，选项B错误，D正确；整个过程中通过导体棒的电荷量q＝＝＝，得金属棒在导轨上发生的位移x＝，选项C错误．
答案 D
2．(多选)如图2所示，足够长的光滑斜面上中间虚线区域内有一垂直于斜面对上的匀强磁场，一正方形线框从斜面底端以确定初速度上滑，线框越过虚线进入磁场，最终又回到斜面底端，则下列说法中正确的是 ( )．
图2
A．上滑过程线框中产生的焦耳热等于下滑过程线框中产生的焦耳热
B．上滑过程线框中产生的焦耳热大于下滑过程线框中产生的焦耳热
C．上滑过程线框克服重力做功的平均功率等于下滑过程中重力的平均功率
D．上滑过程线框克服重力做功的平均功率大于下滑过程中重力的平均功率
解析 考查电磁感应中的功能关系，本题关键是理解上滑经过磁场的末速度与下滑经过磁场的初速度相等，由切割磁感线的效果差别，得A错B对．因过程中有能量损失，上滑平均速度大于下滑平均速度，用时t上<t下．重力做功两次相同由P＝可知C错D对．
答案 BD
3．(2021·浙江宁波模拟，23)如图3所示，两平行导轨间距L＝0.1 m，足够长光滑的倾斜部分和粗糙的水平部分圆滑连接，倾斜部分与水平面的夹角θ＝30°，垂直斜面方向向上的磁场的磁感应强度B＝0.5 T，水平部分没有磁场．金属棒ab质量m＝0.005 kg，电阻r＝0.02 Ω，运动中与导轨有良好接触，并且垂直于导轨，电阻R＝0.08 Ω，其余电阻不计，当金属棒从斜面上离地高h＝1.0 m以上任何地方由静止释放后，在水平面上滑行的最大距离x都是1.25 m．(取g＝10 m/s2)求：
图3
(1)棒在斜面上的最大速度为多少？
(2)水平面的动摩擦因数；
(3)从高度h＝1.0 m处滑下后电阻R上产生的热量．
解析 (1)金属棒从离地高h＝1.0 m以上任何地方由静止释放后，在到达水平面之前已经开头匀速运动
设最大速度为v，则感应电动势E＝BLv
感应电流I＝
安培力F＝BIL，匀速运动时，有mgsin θ＝F
解得v＝1.0 m/s
(2)在水平面上运动时，金属棒所受滑动摩擦力f＝μmg
金属棒在摩擦力作用下做匀减速运动，有f＝ma
v2＝2ax，解得μ＝0.04
(用动能定理同样可以解答)
(3)下滑的过程中，由动能定理可得：mgh－W＝mv2
安培力所做的功等于电路中产生的焦耳热，有W＝Q
电阻R上产生的热量：QR＝Q
解得QR＝3.8×10－2 J
答案 (1)1.0 m/s (2)0.04 (3)3.8×10－2 J
4．如图4所示，在倾角为θ＝37°的斜面内，放置MN和PQ两根不等间距的光滑金属导轨，该装置放置在垂直斜面对下的匀强磁场中．导轨M、P端间接入阻值R1＝30 Ω的电阻和抱负电流表，N、Q端间接阻值为R2＝6 Ω的电阻．质量为m＝0.6 kg、长为L＝1.5 m的金属棒放在导轨上以v0＝5 m/s的初速度从ab处向右上方滑到a′b′处的时间为t＝0.5 s，滑过的距离l＝0.5 m．ab处导轨间距Lab＝0.8 m，a′b′处导轨间距La′b′＝1 m．若金属棒滑动时电流表的读数始终保持不变，不计金属棒和导轨的电阻．sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
图4
(1)此过程中电阻R1上产生的热量；
(2)此过程中电流表上的读数；
(3)匀强磁场的磁感应强度．
解析 (1)因电流表的读数始终保持不变，即感应电动势不变，故BLabv0＝BLa′b′va′b′，代入数据可得va′b′＝4 m/s
依据能量转化和守恒定律得：
Q总＝m(v－v)－mglsin 37°＝QR1＋QR2
由Q＝t得：＝，代入数据可求得：QR1＝0.15 J
(2)由焦耳定律QR1＝IR1t可知：电流表读数I1＝＝0.1 A
(3)不计金属棒和导轨上的电阻，则R1两端的电压始终等于金属棒与两轨接触间的电动势，由E＝I1R1，E＝BLa′b′va′b′可得：B＝＝0.75 T
答案 (1)0.15 J (2)0.1 A (3)0.75 T
5．如图5所示，两足够长的平行光滑的金属导轨相距为1 m，导轨平面与水平面的夹角θ＝37°，其上端接一阻值为3 Ω的灯泡D.在虚线L1、L2间有一与导轨所在平面垂直的匀强磁场，且磁感应强度B＝1 T，磁场区域的宽度为d＝3.75 m，导体棒a的质量ma＝0.2 kg、电阻Ra＝3 Ω；导体棒b的质量mb＝0.1 kg、电阻Rb＝6 Ω.它们分别位于图中M、N处．由静止释放b棒，b棒刚进入磁场时，由静止释放a棒，b棒恰能匀速穿过磁场区域，当b棒刚穿出磁场时a棒正好进入磁场．g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.
图5
(1)当b棒进入磁场时的速度；
(2)当a棒进入磁场区域时，求灯泡的实际功率；
(3)假设a棒穿出磁场前已达到匀速运动状态，求a棒通过磁场区域的过程中，回路所产生的总热量．
解析 (1)设b棒进入磁场时速度为vb，对b棒受力分析，由平衡条件可得mbgsin θ＝F安＝，由等效电路可得出整个回路的等效电阻R总＝＋Rb＝7.5 Ω.
解得vb＝4.5 m/s.
(2)b棒穿出磁场前，a棒始终匀加速下滑，下滑的加速度a＝gsin θ＝6 m/s2，b棒通过磁场的时间t＝＝ s
a棒进入磁场时速度va＝at＝5 m/s
a棒切割磁感线产生的感应电动势Ea＝BLva＝5 V，R总′＝Ra＋＝5 Ω
灯泡实际功率P＝2/RD＝ W.
(3)设a棒最终匀速运动的速度为va′，对a受力分析，由平衡条件可得magsin θ＝
解得va′＝6 m/s
对a棒穿过磁场过程应用动能定理：
magdsin θ＋W安＝mava′2－mav
解得W安＝－3.4 J
由功能关系可知，电路中产生的总热量：Q＝－W安＝3.4 J.
答案 (1)4.5 m/s (2)W (3)3.4 J
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