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第1讲 相像三角形的判定及有关性质
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一、填空题
1．如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE交于F，写出图中全部与△ACE相像的三角形为________．
解析 Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各共一个锐角，因而它们均相像，又易知∠BFE＝∠A，故Rt△ACE∽Rt△FBE.
答案 △FCD、△FBE、△ABD
2.如图，在△ABC中，M，N分别是AB，BC的中点，AN，CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是________．
解析 ∵M，N分别是AB、BC中点，故MN綉AC，
∴△MON∽△COA，∴＝2＝.
答案 1∶4
3.(2021·渭南模拟)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.
解析 由于∠ACD＝∠AEB＝90°，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴＝.
又AC＝4，AD＝12，AB＝6，∴AE＝＝＝2.
答案 2
4.(2022·佛山质检)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.
解析 连接DE和BD，依题知，EB∥DC，EB＝DC＝，CB⊥AB，∴EBCD为矩形，∴DE⊥AB，又E是AB的中点，所以△ABD为等腰三角形．故AD＝DB＝a，∵E，F分别是AD，AB的中点，∴EF＝DB＝a.
答案
5.如图，△ABC∽△AFE，EF＝8，且△ABC与△AFE的相像比是3∶2，则BC等于________．
解析 ∵△ABC∽△AFE，
∴＝.又EF＝8，∴BC＝12.
答案 12
6．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝________.
解析 如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
设AD＝x，∵CD⊥AB于D，
∴由射影定理得CD2＝AD·DB，
即62＝x(13－x)，
∴x2－13x＋36＝0，
解得x1＝4，x2＝9.
∵AD＞BD，∴AD＝9.
答案 9
7．(2021·广东卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.
解析 在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝，所以∠BAC＝60°.由于BE⊥AC，AB＝，所以AE＝，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝＋9－2××3×＝，故ED＝.
答案
8.(2022·茂名模拟)如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12，则EF＝________.
解析 ∵AB∥CD∥EF，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
∴4(BC－BF)＝12BF，∴BC＝4BF，
∴＝4＝，∴EF＝3.
答案 3
9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于O，过O的直线分别交AB、CD于E、F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________.
解析 ∵EF∥AD∥BC，∴△OAD∽△OCB，
OA∶OC＝AD∶BC＝12∶20，
△OAE∽△CAB，OE∶BC＝OA∶CA＝12∶32，
∴EF＝2××20＝15.
答案 15
二、解答题
10.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE＝AC，BD＝AB，点F在BC上，且CF＝BC.求证：
(1)EF⊥BC；
(2)∠ADE＝∠EBC.
证明 设AB＝AC＝3a，
则AE＝BD＝a，CF＝a.
(1)＝＝，＝＝，∴＝.
又∠C为公共角，
故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°.
∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC.
(2)由(1)得EF＝a，
故＝＝，＝＝，
∴＝.∵∠DAE＝∠BEF＝90°，
∴△ADE∽△FBE，∴∠ADE＝∠EBC.
11．如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.
求证：(1)B，D，H，E四点共圆；
(2)EC平分∠DEF.
证明 (1)在△ABC中，由于∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.
由于AD，CE是角平分线，
所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°，
于是∠EHD＝∠AHC＝120°.
由于∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．
(2)连接BH，则BH为∠ABC的角平分线，∠HBD＝30°，
由(1)知B，D，H，E四点共圆，
所以∠CED＝∠HBD＝30°，
由于AE＝AF，AD为角平分线，所以EF⊥AD，
又∠AHE＝∠EBD＝60°，
所以∠CEF＝30°，
所以EC平分∠DEF.
12.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：
(1)△ABC≌△DCB；
(2)DE·DC＝AE·BD.
证明 (1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD.
∵AB＝DC，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB.
(2)∵△ABC≌△DCB.
∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB.
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC.
∴∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB.
∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC.
∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD.
∴DE∶BD＝AE∶CD.
∴DE·DC＝AE·BD.
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