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第六章 不 等 式第3课时 基本不等式
1. 已知x>，则函数y＝4x＋的最小值为________．
答案：7
解析：y＝4x＋＝(4x－5)＋＋5≥2＋5＝7.当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号．
2. 已知函数f(x)＝x＋(p为常数且p>0)，若f(x)在区间(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________．
答案：
解析：∵ x>1，∴ x－1>0，∴ f(x)＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝2＋1.又f(x)在区间(1，＋∞)上的最小值为4，∴ 2＋1＝4，解得p＝.
3. 若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________．
答案：3
解析：∵ x＞2，∴ f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．
4. 已知x、y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
答案：3
解析：＋＝1≥2，即xy≤3，当且仅当＝且＋＝1，即x＝，y＝2时等号成立．
5. 已知x>0，y>0，若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案：(－4，2)
解析：由于x>0，y>0，所以＋≥2＝8.要使原不等式恒成立，只需m2＋2m<8，解得－4<m<2.
6. 若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
答案：
解析：∵ x2＋y2＋xy＝1，∴ (x＋y)2－xy＝1，即(x＋y)2－≤1，∴ (x＋y)2≤，x＋y≤.
7. 已知a、b为正数，且直线2x－(b－3)y＋6＝0与直线bx＋ay－5＝0相互垂直，则2a＋3b的最小值为________．
答案：25
解析：依题意得2b－a(b－3)＝0，即＋＝1，2a＋3b＝(2a＋3b)＝13＋6≥13＋6×2＝25，当且仅当＝，即a＝b＝5时取等号，因此2a＋3b的最小值是25.
8. 一批材料可以建成200m长的围墙，现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间隔成3个面积相等的矩形(如图)，则围成的矩形最大总面积为________．
答案：2500m2
解析：设3个面积相等的每个矩形长am，宽bm，如题图所示，则4a＋3b＝200，∴ 4a＋3b＝200≥4，即3ab≤2500.故围成的矩形最大总面积为S＝3ab≤2500.
9. 某车间分批生产某种产品，每批的生产预备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产预备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品多少件？
解：记平均到每件产品的生产预备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝＝＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80件(x>0)时，取最小值．
10. 某房地产开发公司方案在一楼区内建筑一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000m2，人行道的宽分别为4m和10m.求：
(1) 若设休闲区的长A1B1＝xm，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2) 要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
解：(1) 由A1B1＝x，知B1C1＝，
S＝(x＋20)＝4160＋8x＋(x>0)．
(2) S＝4 160＋8x＋≥4160＋2＝5760，当且仅当8x＝即x＝100时取等号，∴ 要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长为100m、宽为40m.
11. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某大路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y＝(v>0)．
(1) 在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(保留分数形式)
(2) 若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
解：(1) 依题意，y＝≤＝，当且仅当v＝，即v＝40时，上式等号成立，所以ymax＝千辆/小时．
(2) 由条件得>10，整理得v2－89v＋1 600<0，即(v－25)(v－64)<0，解得25<v<64.
故当v＝40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时．假如要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．
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