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D4 数列求和
【数学理卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】19．（本题满分12分）
设数列是等差数列，数列的前项和满足且
（Ⅰ）求数列和的通项公式：
（Ⅱ）设，设为的前n项和，求.
【学问点】 等差数列等比数列数列求和D2 D3 D4
【答案解析】(1) , . （2）
（1）∵数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=（bn-1），∴b1=S1=(b1-1)，解得b1=3．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(bn-1)- (bn-1-1)，化为bn=3bn-1．
∴数列{bn}为等比数列，∴bn=3×3n-1=3n．∵a2=b1=3，a5=b2=9．
设等差数列{an}的公差为d．
∴，解得d=2，a1=1．∴an=2n-1．综上可得：an=2n-1，bn=3n．
（2）cn=an•bn=（2n-1）•3n．
∴Tn=3+3×32+5×33+…+（2n-3）•3n-1+（2n-1）•3n，
3Tn=32+3×33+…+（2n-3）•3n+（2n-1）•3n+1．
∴-2Tn=3+2×32+2×33+…+2×3n-（2n-1）•3n+1=-（2n-1）•3n+1-3
=（2-2n）•3n+1-6．∴Tn=3+(n-1)3n+1．
【思路点拨】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．
【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】20. （本小题满分13分）
若数列的前项和为，对任意正整数都有.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和
【学问点】数列的求和；对数的运算性质；数列与不等式的综合．B7 D4 D5
【答案】【解析】（1）；（2）
解析：(1)由，得，解得． …………2分
由 ……①，
当时，有 ……②， …………3分
①－②得：， …………4分
数列是首项，公比的等比数列 …………5分
， …………6分
（2）由（1）知．…………7分
所以…………9分
当为偶数时，
…………11分
当为奇数时，
所以…………13分
【思路点拨】（1）由，得，解得，当时，有，两式相减可得数列是首项，公比的等比数列，进而得到通项公式；（2）依据条件得到的通项，然后对n分类争辩即可得到.
【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】16. （本小题满分12分）
在正项等比数列中， 公比，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，当取最大值时，求的值.
【学问点】数列的求和；等比数列的通项公式．D3 D4
【答案】【解析】（1）;（2）
解析：，
，
是正项等比数列，
，
，
.
.
（2）
，且为递减数列
当当取最大值时，
【思路点拨】（1）利用等比数列的性质和通项公式即可得出；（2）利用等差数列的前n项和公式、二次函数的单调性即可得出．
【数学理卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】20.(本小题满分12分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上.
（1）求数列的通项公式;
（2）设，是数列的前n项和，求使得对全部都成立的最小正整数m.
【学问点】数列求和D4
【答案解析】（Ⅰ）an＝6n－5 （）（Ⅱ）10
（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,
则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又由于点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，
故Tn＝＝＝（1－）.
因此，要使（1－）<（）成立的m,当且仅当≤，
即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
【思路点拨】依据数列求和公式求出通项公式，再依据裂项求和求出m的最小值。
【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】20.（本小题满分13分）
已知数列为等比数列，其前项和为，已知，且对于任意的有，，成等差数列；
（1）求数列的通项公式；
（2）已知（），记，若对于恒成立，求实数的范围。
【学问点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列与函数的综合.D3 D4 D5
【答案】【解析】(1) ；(2)
解析：（1）
…………4分
（2），
………10分
若对于恒成立，则，
， ，
令，
所以为减函数， …………13分
【思路点拨】(1) 设出等比数列的公比，利用对于任意的有，，成等差得代入首项和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首项，则数列{an}的通项公式可求； (2) 把（1）中求得的an和已知代入整理，然后利用错位相减法求Tn，把Tn代入后分别变量m，使问题转化为求函数的最大值问题，分析函数的单调性时可用作差法．
【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】13.已知函数的部分图像如图，
令则 ．
【学问点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；数列的求和．C4 D4
【答案】【解析】0 解析：由图象可知，T=，解得T=π，故有．
函数的图象过点（，1）故有1=sin（2×+φ），|φ|＜，故可解得φ=，从而有f（x）=sin（2x+）．
a1=sin（2×+）=1，a2=sin（2×+）=
a3=sin（2×+）=﹣，a4=sin（2×+）=﹣1
a5=sin（2×+）=﹣，a6=sin（2×+）=
a7=sin（2×+）=1，a8=sin（2×+）=
…
观看规律可知an的取值以6为周期，且有一个周期内的和为0，且2022=6×335+4，
所以有：a2022=sin（2×+）=﹣1．
则a1+a2+a3+…+a2022=a2011+a2022+a2021+a2022=1+=0．
故答案为：0．
【思路点拨】先依据图象确定ω，φ的值，从而求出函数f（x）的解析式，然后分别写出数列an的各项，留意到各项的取值周期为6，从而可求a1+a2+a3+…+a2022的值．
【数学文卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】19．（本题满分12分）
设数列是等差数列，数列的前项和满足且
（Ⅰ）求数列和的通项公式：
（Ⅱ）设，设为的前n项和，求.
【学问点】 等差数列等比数列数列求和D2 D3 D4
【答案解析】(1) , . （2）
（1）∵数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=（bn-1），∴b1=S1=(b1-1)，解得b1=3．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(bn-1)- (bn-1-1)，化为bn=3bn-1．
∴数列{bn}为等比数列，∴bn=3×3n-1=3n．∵a2=b1=3，a5=b2=9．
设等差数列{an}的公差为d．
∴，解得d=2，a1=1．∴an=2n-1．综上可得：an=2n-1，bn=3n．
（2）cn=an•bn=（2n-1）•3n．
∴Tn=3+3×32+5×33+…+（2n-3）•3n-1+（2n-1）•3n，
3Tn=32+3×33+…+（2n-3）•3n+（2n-1）•3n+1．
∴-2Tn=3+2×32+2×33+…+2×3n-（2n-1）•3n+1=-（2n-1）•3n+1-3
=（2-2n）•3n+1-6．∴Tn=3+(n-1)3n+1．
【思路点拨】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．
【数学文卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】18.（本小题满分12分）已知数列的前项和，
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ) 令，求数列的前项和．
【学问点】数列及数列求和 D1,D4
【答案】【解析】(I)(II) 解析：(Ⅰ) 由 ①
可得：．
同时 ②
②-①可得： ．——4分
从而为等比数列，首项，公比为．
． ————————6分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，
————8分
故 ．—
【思路点拨】由数列的前n项和公式与通项公式的关系可求出数列的通项公式，再依据数列的特点求出前n项和
【数学文卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】19.（本小题满分12分）
数列满足
( 1 ) 证明：数列是等差数列；
( 2 ) 设，求数列的前项和
【学问点】数列的求和；等差关系的确定．D2 D4
【答案】【解析】（1）见解析；（2）
解析：（1）证：由已知可得， ……………3分
即 ……………4分
所以是以为首项， 1为公差的等差数列 ……………6分
（2）解：由（Ⅰ）得，所以 ……………7分
从而 ……………8分
①
② ……………9分
①-②得 ……………10分
……………11分
所以 ……………12分
【思路点拨】（1）变形利用等差数列的通项公式即可得出．（2）“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
【数学文卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】5.设等差数列的前n项和为，若则（ ）
A．27 B．36 C．44 D．54
【学问点】数列的求和．D4
【答案】【解析】B 解析：∵等差数列的前n项和为，
∴成等差数列．∴2（）= + ．
∴2×（15﹣3）=3+ ﹣15，解得=36．故选：B．
【思路点拨】利用等差数列的前n项和为，可得成等差数列．即可得出．
【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】21．（本小题12分）设数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列．
求证：.
【学问点】数列的通项公式，数列求和 等差数列D1 D2 D4
【答案】【解析】（1），（2）略 解析：（1），（）
· =即()
· 当,得=6
即
（2）①，则，
·
· 设①
· 则②
· ①-②得：2+
=+
·
因此 .
【思路点拨】遇到数列的前n项和与通项构成的递推公式，可先利用前n项和与通项之间的关系转化为项的递推公式进行解答，遇到与n项和有关的不等式，可考虑先求和再证明.
【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】15．如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体,例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第(3)个几何体的表面积是36个平方单位. 依此规律,则第个几何体的表面积是___ ____个平方单位.
15题图
【学问点】归纳推理 数列求和D4 M1
【答案】【解析】3n(n+1) 解析： 1. 从上向下看，每层顶面的面个数为：第一层是1，其次层是2，第三层是3………第五层是5，共5个面；
2. 左边和右边还有底面的面积相等，5层时为，1+2+3+4+5=15个面
3. 剩下最终2个面了，这2个面的特征就是都有一个角，一个角有3个面，一共有第一层1个角，其次层2角，第三层3个角……第五层5个角，共有1+2+3+4+5=15个角,45个面；
4. 计算：1层时=6
2层时=（1+2）×3 + （1+2）×3 = 9+9=18
3层时=（1+2+3）×3 + （1+2+3）×3=18+18=36
第n层时为（1+2+3+……+n）×3 + （1+2+3+……+n）×3
也就是6×（1+2+3+……+n）
所以当n=5是，表面积为6×15=90
故第n个几何体的表面积是3n(n+1)个平方单位
【思路点拨】可先由n=1,2,3,4,5观看规律，进而得到一般性结论，即利用归纳推理得到一般性规律，再利用等差数列求和公式得到最终结果.
【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】10. 已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前10项和=( )
A． B． C． D．2
【学问点】等差数列 数列求和 直线与圆位置关系D2 D4 H4
【答案】【解析】B 解析：由于直线与圆的两个交点关于直线对称，所以直线经过圆心，则有2+0－d=0，d=2，而直线与直线垂直，所以，则,,所以数列的前10项和为，所以选B.
【思路点拨】遇到数列求和问题，一般先确定数列的通项公式，再依据通项公式特征确定求和思路.
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