高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章-复习点拨：数学归纳法常见错误剖析.docx

数学归纳法常见错误剖析
初学数学归纳法常毁灭下面的错误，剖析如下：
1、不用假设致误
例1用数学归纳法证明：1。
错证：①当时，左边＝1，右边＝＝1，
所以等式成立。
②假设当时等式成立。
即。
那么当时，

，
也就是说当时，等式成立。
由①②知：对任何等式都成立。
剖析：用数学归纳法证明第②步骤时，在从“”到“的过程中，必需把的命题作为已给定的条件，要在这个条件基础上去导出时的命题所以在推导过程中。故必需把时的命题用上，本解法错因是对假设设而不用。
正解：①当时，左边＝1，右边＝＝1，
所以等式成立。
②假设当时等式成立。
即。
那么当时，
＝

。
即当时，等式成立。
由①②知：对任何等式都成立。
2、盲目套用数学归纳法中的两个步骤致误
例2当为正奇数时，能否被8整除？若能用数学归纳法证明。若不能请举出反例。
证明：⑴当n=1时，7＋1＝8能被8整除。命题成立。
⑵假设当n=k时命题成立。即能被8整除。
则 当n=k+1时，不能8整除.
由（1）（2）知n为正奇数。7不能被8整除
分析：错因;机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽视了n是整奇数的条件。
证明前要看准已知条件。
正解（2）n=k时命题成立，即7能被8整除。
当n=k+2时，
＝49（7
因7能被8整除。且48能被8整除。所以能被8整除。
所以当 n=k+2时 命题成立 。
由⑴⑵知当 为正奇数时，7能被8整除。

三 没有搞清从k 到k+1的跨度
例3：求证：
错证：（1）当 ＝1时，不等式成立。
（2） 假设n=k时命题成立，即
则当n=k+1时，
就是说当n=k+1时不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。
点评：上述证明中，从k 到k+1的跨度，只加了一项是错误的，分母是相临的自然数，故应是，跨度是三项。
正确证法：（1）当＝1时，左边＝，不等式成立。 （2）假设n=k时命题成立，即，
则当n=k+1时，
＝（）＋＋
>1＋
=1＋。
这就是说，当时，不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。