高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章-复习点拨：数学归纳法常见错误剖析.docx

数学归纳法常见错误剖析初学数学归纳法常毁灭下面的错误，剖析如下：1、不用假设致误例1用数学归纳法证明：1。错证：当时，左边1，右边1，所以等式成立。假设当时等式成立。即。那么当时，也就是说当时，等式成立。由知：对任何等式都成立。剖析：用数学归纳法证明第步骤时，在从“”到“的过程中，必需把的命题作为已给定的条件，要在这个条件基础上去导出时的命题所以在推导过程中。故必需把时的命题用上，本解法错因是对假设设而不用。正解：当时，左边1，右边1，所以等式成立。假设当时等式成立。即。那么当时，。即当时，等式成立。由知：对任何等式都成立。2、盲目套用数学归纳法中的两个步骤致误例2当为正奇数时，能否被8整除？若能用数学归纳法证明。若不能请举出反例。证明：当n=1时，718能被8整除。命题成立。 假设当n=k时命题成立。即能被8整除。 则 当n=k+1时，不能8整除.由（1）（2）知n为正奇数。7不能被8整除分析：错因;机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽视了n是整奇数的条件。证明前要看准已知条件。正解（2）n=k时命题成立，即7能被8整除。 当n=k+2时，49（7 因7能被8整除。且48能被8整除。所以能被8整除。所以当 n=k+2时 命题成立 。 由知当 为正奇数时，7能被8整除。 三 没有搞清从k 到k+1的跨度例3：求证： 错证：（1）当 1时，不等式成立。（2） 假设n=k时命题成立，即则当n=k+1时，就是说当n=k+1时不等式成立。由知原不等式成立。点评：上述证明中，从k 到k+1的跨度，只加了一项是错误的，分母是相临的自然数，故应是，跨度是三项。正确证法：（1）当1时，左边，不等式成立。 （2）假设n=k时命题成立，即，则当n=k+1时，（）1=1。这就是说，当时，不等式成立。由知原不等式成立。