【-教师用书】(人教A版-理科)2021届高考数学第一轮复习细致讲解练：第五篇-数列.docx

第五篇数列A第1讲数列的概念与简洁表示法最新考纲1了解数列的概念和几种简洁的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类函数.知 识 梳 理1数列的概念(1)数列的定义依据肯定挨次排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项(2)数列的通项公式假如数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式(3)数列的前n项和在数列an中，Sna1a2an叫做数列的前n项和2数列的表示方法(1)表示方法列表法列表格表达n与f(n)的对应关系图象法把点(n，f(n)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用通项公式表达的方法递推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表达数列的方法(2)数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集1,2，n的函数anf(n)当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值*3数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限单调性递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an摇摆数列从其次项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期性nN*，存在正整数常数k，ankan4.an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an辨 析 感 悟1对数列概念的生疏(1)数列1,2,3,4,5,6与数列6,5,4,3,2,1表示同一数列()(2)1,1,1,1，不能构成一个数列()2对数列的性质及表示法的理解(3)(教材练习改编)数列1,0,1,0,1,0，的通项公式，只能是an.()(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()(5)(2021开封模拟改编)已知Sn3n1，则an23n1.()感悟提升1一个区分“数列”与“数集”数列与数集都是具有某种属性的数的全体，数列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的，同一个数在数列中可以重复消灭，而数集中的元素是互异的，如(1)、(2)2三个防范一是留意数列不仅有递增、递减数列，还有常数列、摇摆数列，如(4)二是数列的通项公式不唯一，如(3)中还可以表示为an三是已知Sn求an时，肯定要验证n1的特殊情形，如(5).同学用书第79页考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】 依据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2)，；(3)，2，8，；(4)5,55,555,5 555，.解(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(1)n，观看各项的确定值，后一项的确定值总比它前一项的确定值大6，故数列的一个通项公式为an(1)n(6n5)(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积知所求数列的一个通项公式为an.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观看即，从而可得数列的一个通项公式为an.(4)将原数列改写为9，99，999，易知数列9,99,999，的通项为10n1，故所求的数列的一个通项公式为an(10n1)规律方法 依据所给数列的前几项求其通项时，需认真观看分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观看、归纳、联想【训练1】 依据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)，；(2)，1，.解(1)各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为，原数列可化为，因此可得数列的一个通项公式为an(1)n.(2)将数列统一为，对于分子3,5,7,9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，因此可得数列的一个通项公式为an.考点二由an与Sn的关系求通项an【例2】 (2021广东卷节选)设数列an的前n项和为Sn.已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式解(1)依题意，2S1a21，又S1a11，所以a24；(2)由题意2Snnan1n3n2n，所以当n2时，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)两式相减得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即1，又1，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以1(n1)1n，所以ann2.规律方法 给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.【训练2】 设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式解(1)令n1时，T12S11，T1S1a1，a12a11，a11.(2)n2时，Tn12Sn1(n1)2，则SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22(SnSn1)2n12an2n1.由于当n1时，a1S11也满足上式，所以Sn2an2n1(n1)，当n2时，Sn12an12(n1)1，两式相减得an2an2an12，所以an2an12(n2)，所以an22(an12)，由于a1230，所以数列an2是以3为首项，公比为2的等比数列所以an232n1，an32n12，当n1时也成立，所以an32n12.同学用书第80页考点三由递推公式求数列的通项公式【例3】 在数列an中，(1)若a12，an1ann1，则通项an_；(2)若a11，an13an2，则通项an_.审题路线(1)变形为an1ann1用累加法，即ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)得出an.(2)变形为an113(an1)再变形为用累乘法或迭代法可求an.解析(1)由题意得，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a121，符合上式，因此an1.(2)an13an2，即an113(an1)，即3，法一3，3，3，3.将这些等式两边分别相乘得3n.由于a11，所以3n，即an123n1(n1)，所以an23n11(n2)，又a11也满足上式，故an23n11.法二由3，即an113(an1)，当n2时，an13(an11)，an13(an11)32(an21)33(an31)3n1(a11)23n1，an23n11；当n1时，a1123111也满足an23n11.答案(1)1(2)23n11规律方法 数列的递推关系是给出数列的一种方法，依据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项【训练3】 设an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1,2,3，)，则它的通项公式an_.解析(n1)aan1anna0，(an1an)(n1)an1nan0，又an1an0，(n1)an1nan0，即，an.答案 1求数列通项或指定项，通常用观看法(对于交叉数列一般用(1)n或(1)n1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法2由Sn求an时，an留意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式3已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“an1panq”这种形式通常转化为an1p(an)，由待定系数法求出，再化为等比数列；(3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式 思想方法4用函数的思想解决数列问题【典例】 (2021新课标全国卷)等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_解析由题意及等差数列的性质，知a1a100，a1a15.两式相减，得a15a105d，所以d，a13.所以nSnnna1d.令f(x)，x0，则f(x)x(3x20)，由函数的单调性，可知函数f(x)在x时取得最小值，检验n6时，6S648，而n7时，7S749，故nSn的最小值为49.答案49反思感悟 (1)本题求出的nSn的表达式可以看做是一个定义在正整数集N*上的三次函数，因此可以接受导数法求解(2)易错分析：由于n为正整数，因而不能将代入求最值，这是考生简洁忽视而产生错误的地方【自主体验】1设an3n215n18，则数列an中的最大项的值是()A. B. C4 D0解析an32，由二次函数性质，得当n2或3时，an最大，最大为0.答案D2已知an是递增数列，且对于任意的nN*，ann2n恒成立，则实数的取值范围是_解析设f(n)ann2n，其图象的对称轴为直线n，要使数列an为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数，故只需满足，即3.答案(3，)对应同学用书P285基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2022深圳中学模拟)数列0，的一个通项公式为()Aan(nN*) Ban(nN*) Can(nN*) Dan(nN*)解析将0写成，观看数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n1)，nN*；分母为奇数列，可表示为2n1，nN*，故选C.答案C2若Sn为数列an的前n项和，且Sn，则()A. B. C. D30解析当n2时，anSnSn1，5(51)30.答案D3(2022贵阳模拟)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n21，则a3()A10 B6 C10 D14解析a3S3S22321(2221)10.答案C4已知a11，ann(an1an)(nN*)，则数列an的通项公式是()A2n1 B.n1Cn2 Dn解析法一(构造法)由已知整理得(n1)annan1，数列是常数列且1，ann.法二(累乘法)：n2时，.，两边分别相乘得n，又由于a11，ann.答案D5已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn()A2n1 B.n1 C.n1 D.解析Sn2an1，当n2时，Sn12an，anSnSn12an12an(n2)，即(n2)，又a2，ann2(n2)当n1时，a111，anSn2an12n1n1.答案B二、填空题6(2021蚌埠模拟)数列an的通项公式ann210n11，则该数列前_项的和最大解析易知a1200，明显要想使和最大，则应把全部的非负项求和即可，令an0，则n210n110，1n11，可见，当n11时，a110，故a10是最终一个正项，a110，故前10或11项和最大答案10或117(2022广州模拟)设数列an满足a13a232a33n1an，则数列an的通项公式为_解析a13a232a33n1an，则当n2时，a13a232a33n2an1，两式左右两边分别相减得3n1an，an(n2)由题意知，a1，符合上式，an(nN*)答案an8(2021淄博二模)在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为_解析每行的其次个数构成一个数列an，由题意知a23，a36，a411，a518，所以a3a23，a4a35，a5a47，anan12(n1)12n3，等式两边同时相加得ana2n22n，所以ann22na2n22n3(n2)，所以a99229366.答案66三、解答题9数列an的通项公式是ann27n6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开头各项都是正数？解(1)当n4时，a4424766.(2)令an150，即n27n6150，解得n16或n9(舍去)，即150是这个数列的第16项(3)令ann27n60，解得n6或n1(舍)从第7项起各项都是正数10在数列an中，a11，Sn为其前n项和，且an12Snn2n1.(1)设bnan1an，求数列bn的前n项和Tn；(2)求数列an的通项公式解(1)an12Snn2n1，an2Sn1(n1)2(n1)1(n2)，两式相减得，an1an2an2n2(n2)由已知可得a23，n1时上式也成立an13an2n2(nN*)，an3an12(n1)2(n2)两式相减，得(an1an)3(anan1)2(n2)bnan1an，bn3bn12(n2)，bn13(bn11)(n2)b1130，bn1是以3为公比，3为首项的等比数列，bn133n13n，bn3n1.Tn31323nn3n1n.(2)由(1)知，an1an3n1，an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a3a2)(a2a1)a13031323n1(n1)(3n1)n.力量提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1已知数列an的通项公式为an，则满足an1an的n的取值为()A3 B4 C5 D6解析由an1an，得an1an0，解得n，又nN*，n5.答案C2(2022湖州模拟)设函数f(x)数列an满足anf(n)，nN*，且数列an是递增数列，则实数a的取值范围是()A. B. C(1,3) D(2,3)解析数列an是递增数列，又anf(n)(nN*)，2aa1.综上，所求的a的取值范围是9，).同学用书第81页第2讲等差数列及其前n项和最新考纲1理解等差数列的概念2把握等差数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关学问解决相应的问题4了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.知 识 梳 理1等差数列的定义假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示数学语言表达式：an1and(nN*)，d为常数2等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d.若等差数列an的第m项为am，则其第n项an可以表示为anam(nm)d.(2)等差数列的前n项和公式Snna1d.(其中nN*，a1为首项，d为公差，an为第n项)3等差数列及前n项和的性质(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A.(2)若an为等差数列，当mnpq，amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.(6)若n为偶数，则S偶S奇；若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)4等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的区分与联系等差数列一次函数解析式anknb(nN*)f(x)kxb(k0)不同点定义域为N*，图象是一系列孤立的点(在直线上)，k为公差定义域为R，图象是一条直线，k为斜率相同点数列的通项公式与函数解析式都是关于自变量的一次函数k0时，数列anknb(nN*)图象所表示的点均匀分布在函数f(x)kxb(k0)的图象上；k0时，数列为递增数列，函数为增函数；k0时，数列为递减数列，函数为减函数(2)等差数列前n项和公式可变形为Snn2n，当d0时，它是关于n的二次函数，它的图象是抛物线yx2x上横坐标为正整数的均匀分布的一群孤立的点辨 析 感 悟1对等差数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列的公差是相邻两项的差()(3)(教材习题改编)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()2等差数列的通项公式与前n项和(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(5)等差数列an的单调性是由公差d打算的()(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()3等差数列性质的活用(7)(2021广东卷改编)在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a720.()(8)(2021辽宁卷改编)已知关于d0的等差数列an，则数列an，nan，an3nd都是递增数列()感悟提升一点留意等差数列概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性，如(1)、(2)等差数列与函数的区分一是当公差d0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d0时，an为常数，如(3)；二是公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0；三是等差数列an的单调性是由公差d打算的，如(8)中若an3n12，则满足已知，但nan3n212n并非递增；若ann1，则满足已知，但1是递减数列；设ana1(n1)ddnm，则an3nd4dnm是递增数列.同学用书第82页考点一等差数列的基本量的求解【例1】 在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3.解得d2.从而，an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n.所以Sn2nn2.进而由Sk35可得2kk235.即k22k350，解得k7或5.又kN*，故k7为所求规律方法 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法【训练1】 (1)(2021浙江五校联考)已知等差数列an满足a2a44，a3a510，则它的前10项的和S10()A85 B135 C95 D23(2)(2021新课标全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3 B4 C5 D6解析(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，则解得S1010(4)395.(2)法一Sm12，Sm0，Sm13，amSmSm12，am1Sm1Sm3，公差dam1am1，由Snna1dna1，得由得a1，代入可得m5. 法二数列an为等差数列，且前n项和为Sn，数列也为等差数列，即0，解得m5.经检验为原方程的解故选C.答案(1)C(2)C考点二等差数列的判定与证明【例2】 (2022梅州调研改编)若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式审题路线(1)利用anSnSn1(n2)转化为关于Sn与Sn1的式子同除SnSn1利用定义证明得出结论(2)由(1)求再求Sn再代入条件an2SnSn1，求an验证n1的状况得出结论(1)证明当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，故是首项为2，公差为2的等差数列(2)解由(1)可得2n，Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合上式故an规律方法 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明anan1d(n2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an1anan2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法【训练2】 已知数列an满足：a12，an13an3n12n.设bn.证明：数列bn为等差数列，并求an的通项公式证明bn1bn1，bn为等差数列，又b10.bnn1，an(n1)3n2n.同学用书第83页考点三等差数列的性质及应用【例3】 (1)设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9()A6 B4 C2 D2(2)在等差数列an中，前m项的和为30，前2m项的和为100，则前3m项的和为_解析(1)S84a34a3a3a6a3，a60，d2，a9a72d246.(2)记数列an的前n项和为Sn，由等差数列前n项和的性质知Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，则2(S2mSm)Sm(S3mS2m)，又Sm30，S2m100，S2mSm1003070，所以S3mS2m2(S2mSm)Sm110，所以S3m110100210.答案(1)A(2)210规律方法 奇妙运用等差数列的性质，可化繁为简；若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为ad，a，ad；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a d，ad，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元【训练3】 (1)在等差数列an中若共有n项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n项和Sn286，则n_.(2)已知等差数列an中，S39，S636，则a7a8a9_.解析(1)依题意知a1a2a3a421，anan1an2an367.由等差数列的性质知a1ana2an1a3an2a4an3，4(a1an)88，a1an22.又Sn，即286，n26.(2)an为等差数列，S3，S6S3，S9S6成等差数列，2(S6S3)S3(S9S6)a7a8a9S9S62(S6S3)S32(369)945.答案(1)26(2)45 1等差数列的推断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A、B为常数)an是等差数列2方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解 方法优化4整体代入法(整体相消法)在数列解题中的应用【典例】 (1)(2022辽宁卷)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11()A58 B88 C143 D176(2)(2021北京卷)若等比数列an满足：a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.一般解法 (1)设数列an的公差为d，则a4a816，即a13da17d16，即a185d，所以S1111a1d11(85d)55d8855d55d88.(2)由a2a420，a3a540，得即解得q2，a12，Sn2n12.美丽解法 (1)由a1a11a4a816，得S1188.(2)由已知，得q2，又a12，所以Sn2n12.反思感悟 整体代入法是一种重要的解题方法和技巧，简化了解题过程，节省了时间，这就要求同学要把握公式，理解其结构特征【自主体验】在等差数列an中，已知Snm，Smn(mn)，则Smn_.解析设an的公差为d，则由Snm，Smn，得得(mn)a1dnm，mn，a1d1.Smn(mn)a1d(mn)(mn)答案(mn)对应同学用书P287基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2021温州二模)记Sn为等差数列an前n项和，若1，则其公差d()A. B2 C3 D4解析由1，得1，即a1d1，d2.答案B2(2022潍坊期末考试)在等差数列an中，a5a6a715，那么a3a4a9等于()A21 B30 C35 D40解析由题意得3a615，a65.所以a3a4a97a67535.答案C3(2021揭阳二模)在等差数列an中，首项a10，公差d0，若ama1a2a9，则m的值为()A37 B36 C20 D19解析由ama1a2a9，得(m1)d9a536dm37.答案A4(2022郑州模拟)an为等差数列，Sn为其前n项和，已知a75，S721，则S10()A40 B35 C30 D28解析设公差为d，则由已知得S7，即21，解得a11，所以a7a16d，所以d.所以S1010a1d1040.答案A5(2021淄博二模)已知等差数列an的前n项和为Sn，满足a13S1313，则a1()A14 B13 C12 D11解析在等差数列中，S1313，所以a1a132，即a12a1321311.答案D二、填空题6(2021肇庆二模)在等差数列an中，a1533，a2566，则a35_.解析a25a1510d663333，a35a2510d663399.答案997(2022成都模拟)已知等差数列an的首项a11，前三项之和S39，则an的通项an_.解析由a11，S39，得a1a2a39，即3a13d9，解得d2，an1(n1)22n1.答案2n18(2021浙江五校联考)若等差数列an的前n项和为Sn(nN*)，若a2a352，则S3S5_.解析.答案32三、解答题9已知等差数列an的公差d1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5a1a9，求a1的取值范围解(1)由于数列an的公差d1，且1，a1，a3成等比数列，所以a1(a12)，即aa120，解得a11或2.(2)由于数列an的公差d1，且S5a1a9，所以5a110a8a1，即a3a1100，解得5a12.故a1的取值范围是(5,2)10设数列an的前n项和为Sn，a11，an2(n1)(nN*)(1)求证：数列an为等差数列，并求an与Sn.(2)是否存在自然数n，使得S1(n1)22 015？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由证明(1)由an2(n1)，得Snnan2n(n1)(nN*)当n2时，anSnSn1nan(n1)an14(n1)，即anan14，故数列an是以1为首项，4为公差的等差数列于是，an4n3，Sn2n2n(nN*)(2)由(1)，得2n1(nN*)，又S1