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A组 考点基础演练
一、选择题
1．(2022年高考重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．12 B．18
C．24 D．30
答案：C
2．(2022年高考辽宁卷)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．8－2π B．8－π
C．8－ D．8－
解析：该几何体为一正方体挖去了两个圆柱，则体积V＝23－2××π×12×2＝8－π.
答案：B
3．某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为( )
A．12 B．24
C．24 D．12
解析：由三视图知该几何体为一正四棱台，侧面梯形的上底长为2，下底长为4，高为正视图梯形的腰长，即为，则棱台的侧面积为×4＝12，故选A.
答案：A
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B．π
C. D．12π
解析：由三视图可知该几何体的直观图为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积V＝V柱－2V半球＝π×12×2－2××π×13＝π，选A.
答案：A
5.如图，直三棱柱ABC A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为( )
A．2 B．1
C. D.
解析：连接BC1，B1C，交于点O，则O为面BCC1B1的中心．由题意知，球心为侧面BCC1B1的中点O，BC为截面圆的直径，所以∠BAC＝90°，则△ABC的外接圆圆心N位于BC的中点，同理，△A1B1C1的外接圆圆心M位于B1C1的中点，设正方形BCC1B1的边长为x，在Rt△OMC1中，OM＝，MC1＝，OC1＝R＝1(R为球的半径)，所以2＋2＝1，即x＝，即AB＝AC＝1，所以侧面ABB1A1的面积为×1＝，选C.
答案：C
二、填空题
6. (2021年高考福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简洁组合体，假如该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．
解析：由三视图知组合体为球内接正方体，正方体的棱长为2，若球半径为R，则2R＝2，
∴R＝.∴S球表＝4πR2＝4π×3＝12π.
答案：12π
7．(2022年高考江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．
解析：设甲、乙两圆柱的高分别为h1，h2，底面半径分别为r1，r2，∴2πr1h1＝2πr2h2，即＝，而＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝＝.
答案：
8．已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上．若AA1＝2，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于________．
解析：由题意知该三棱柱为直棱柱，设△ABC的外接圆的圆心为M，半径为r，△A1B1C1的外接圆的圆心为M1，则该三棱柱的外接球的球心确定在MM1的中点处，设为O，连接OA，MA，则OA2＝MA2＋2，即R2＝r2＋1，在△ABC中，由余弦定理知BC＝，由正弦定理知，2r＝＝＝2，即r＝1，所以R2＝2.故此球的表面积为S＝4πR2＝8π.
答案：8π
三、解答题
9．已知一个几何体的三视图如图所示．
(1)求此几何体的表面积；(2)假如点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长．
解析：(1)由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S圆锥侧＝(2πa)·(a)＝πa2，
S圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2，S圆柱底＝πa2，
所以S表面＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2.
(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图．
则PQ＝＝＝a，
所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.
10.如图所示的几何体为一简洁组合体，其底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD且PD＝2EC.
(1)若点N为线段PB的中点，求证：NE⊥PD；
(2)若矩形ABCD的周长为10，PD＝2，求该组合体体积的最大值．
解析：(1)证明：如图，连接AC、BD交于点F，则F为BD的中点，连接NF.
∵N为线段PB的中点，
∴NF∥PD且NF＝PD，
又EC∥PD且EC＝PD，
∴NF綊EC，
∴四边形NFCE是平行四边形，
∴NE∥FC，即NE∥AC，
又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴PD⊥AC.
又NE∥AC，
∴NE⊥PD.
(2)该简洁组合体可看成是由三棱锥P -ABD和四棱锥B -PDCE组合而成的．
∵矩形ABCD的周长为10，设AB＝x(0<x<5)，则CD＝x，AD＝BC＝5－x.
∴VP -ABD＝S△ABD·PD＝××AD×AB×PD＝(5－x)x.
∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴PD⊥BC.
又∵BC⊥CD，PD∩CD＝D，
∴BC⊥平面PDCE，
∴VB -PDCE＝××(CE＋PD)×CD×BC
＝××3·x·(5－x)＝(5－x)x，
∴简洁组合体的体积为V＝VP -ABD＋VB -PDCE＝x(5－x)＝－x(x－5)
＝－2＋.
∵0<x<5，
∴当x＝时，该简洁组合体的体积最大，最大值为.
B组 高考题型专练
1．(2022年高考四川卷)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )
(锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)
A．3 B．2
C. D．1
解析：由侧视图知高为，由俯视图知底面积S＝×2×＝，故三棱锥的体积V＝××＝1.
答案：D
2．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
A. B.
C. D.
解析：圆柱的体积为π×32×6＝54π，该零件的体积为π×22×4＋π×32×2＝34π，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为＝.
答案：C
3．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A．4π B．3π
C．2π D．π
解析：由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.
答案：C
4．(2022年高考新课标全国卷Ⅱ)正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A B1DC1的体积为( )
A．3 B.
C．1 D.
答案：C
5．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A. B．16π
C．9π D.
解析：设球的半径为R，则(4－R)2＋()2＝R2，∴R＝，∴S球＝4πR2＝π.
答案：A
6．(2022年高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
解析：由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱构成的组合体，其体积为π×22×2＋π×12×4＝ m3.
答案：
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