资源描述
[基础达标]
1．(2022·安徽芜湖一模)若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为( )
A．3·2－2 B．2－4
C．3·2－10 D．2－8
解析：选C．E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，则P(X＝1)＝C··()11＝3·2－10.
2．设随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数a的值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：选A．由正态分布的性质可知P(X≤0)＝P(X≥2)，所以a－2＝2，故a＝4.
3．(2022·甘肃嘉峪关质检)签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为( )
A．5 B．5.25
C．5.8 D．4.6
解析：选B．由题意可知，X可以取3，4，5，6，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.
由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25.
4．袋中装有大小相同，标号分别为1，2，3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)为( )
A． B．
C． D．
解析：选D．依题意得，ξ的全部可能取值是0，1，2，且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，因此E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
5．体育课的排球发球项目考试的规章是：每位同学最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则始终发到3次为止．设同学一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选C．发球次数X的分布列如下表：
X
1
2
3
P
p
(1－p)p
(1－p)2
所以期望E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，
解得p>(舍去)或p<.
又p>0，则0<p<.
6．(2022·安徽阜阳质检)某项玩耍活动的嘉奖分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该玩耍获得资金的期望为________元．
解析：a1＋2a1＋4a1＝1，∴a1＝，E(ξ)＝×700＋×560＋×420＝500(元)．
答案：500
7．已知某次英语考试的成果X听从正态分布N(116，82)，则10 000名考生中成果在140分以上的人数为________．
解析：由已知得μ＝116，σ＝8.
∴P(92＜X≤140)＝P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4，
∴P(X＞140)＝(1－0.997 4)＝0.001 3，
∴成果在140分以上的人数为13.
答案：13
8．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分．没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为，此人得分的数学期望与方差分别为________．
解析：记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分，
则η～B(3，)，ξ＝10η，
∴E(ξ)＝10E(η)＝10×3×＝20，
D(ξ)＝100D(η)＝100×3××＝.
答案：20，
9．(2022·河北石家庄市高中毕业班质检)某市的训练争辩机构对全市高三同学进行综合素养测试，随机抽取了部分同学的成果，得到如图所示的成果频率分布直方图．
(1)估量全市同学综合素养成果的平均值；
(2)若评定成果不低于80分为优秀，视频率为概率，从全市同学中任选3名同学(看作有放回地抽样)，变量ξ表示3名同学中成果优秀的人数，求变量ξ的分布列及期望E(ξ)．
解：(1)依题意可知
55×0.12＋65×0.18＋75×0.40＋85×0.22＋95×0.08
＝74.6，
所以综合素养成果的平均值为74.6.
(2)由频率分布直方图知优秀率为10×(0.008＋0.022)
＝0.3，
由题意知，ξ～B(3，)，P(ξ＝k)＝C()k()3－k，
故其分布列为
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝3×＝.
10．(2021·高考重庆卷)某商场进行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．依据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3红1蓝
200元
二等奖
3红0蓝
50元
三等奖
2红1蓝
10元
其余状况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．
解：设Ai(i＝0，1，2，3)表示摸到i个红球，Bj(j＝0，1)表示摸到j个蓝球，则Ai与Bj独立．
(1)恰好摸到1个红球的概率为
P(A1)＝＝.
(2)X的全部可能值为：0，10，50，200，且
P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝·＝，
P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝·＝，
P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝·＝＝，
P(X＝0)＝1－－－＝.
综上可知，获奖金额X的分布列为
X
0
10
50
200
P
从而有E(X)＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)．
[力气提升]
1．(2022·浙江省名校联考)甲、乙两支球队进行总决赛，竞赛接受七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，竞赛就此结束．因两队实力相当，每场竞赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场竞赛可获得门票收入40万元，以后每场竞赛门票收入比上一场增加10万元．
(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；
(2)设总决赛中获得门票总收入为X，求X的均值E(X)．
解：(1)依题意，每场竞赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．
设此数列为{an}，则易知a1＝40，an＝10n＋30，
所以Sn＝＝300.
解得n＝－12(舍去)或n＝5，所以此决赛共竞赛了5场．
则前4场竞赛的比分必为1∶3，且第5场竞赛为领先的球队获胜，其概率为C()4＝.
(2)随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220，300，390，490.
又P(X＝220)＝2×()4＝，
P(X＝300)＝C()4＝，
P(X＝390)＝C()5＝，
P(X＝490)＝C()6＝，
所以X的分布列为
X
220
300
390
490
P
所以X的均值为E(X)＝377.5(万元)．
2．(2021·高考湖北卷)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是听从正态分布N(800，502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.
(1)求p0的值；
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4)
(2)某客运公司用A、B两种型号的车辆担当甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天来回一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
解：(1)由于随机变量X听从正态分布N(800，502)，
故有μ＝800，σ＝50，P(700<X≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900)＝＋P(700<X≤900)＝0.977 2.
(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y，则相应的营运成本为1 600x＋2 400y.依题意，x，y还需满足x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0.
由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.
于是问题等价于求满足约束条件
且使目标函数z＝1 600x＋2 400y达到最小的x，y.
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)．
由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上截距最小，即z取得最小值．
故应配备A型车5辆、B型车12辆．
3．(2022·云南昆明市调研)气象部门供应了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：
日最高气温t(单位：℃)
t≤22
22<t≤28
28<t≤32
t>32
天数
6
12
Y
Z
由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门供应的资料显示，六月份的日最高气温不高于32 ℃的频率为0.9.
某水果商依据多年的销售阅历，六月份的日最高气温t(单位℃)对西瓜的销售影响如下表：
日最高气温t(单位：℃)
t≤22
22<t≤28
28<t≤32
t>32
日销售额X(单位：千元)
2
5
6
8
(1)求Y，Z的值；
(2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；
(3)在日最高气温不高于32 ℃时，求日销售额不低于5千元的概率．
解：(1)由已知得：P(t≤32)＝0.9，
∴P(t>32)＝1－P(t≤32)＝0.1，
∴Z＝30×0.1＝3，
Y＝30－(6＋12＋3)＝9.
(2)P(t≤22)＝＝0.2，P(22<t≤28)＝＝0.4，P(28<t≤32)＝＝0.3，P(t>32)＝＝0.1，
∴六月份西瓜日销售额X的分布列为
X
2
5
6
8
P
0.2
0.4
0.3
0.1
∴E(X)＝2×0.2＋5×0.4＋6×0.3＋8×0.1＝5，
D(X)＝(2－5)2×0.2＋(5－5)2×0.4＋(6－5)2×0.3＋(8－5)2×0.1＝3.
(3)∵P(t≤32)＝0.9，P(22<t≤32)＝0.4＋0.3＝0.7，
∴由条件概率得：P(X≥5|t≤32)＝P(22<t≤32|t≤32)＝＝＝.
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