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第十六节 定积分及其简洁应用
题号
1
2
3
4
答案
1.下列式子中，正确的是( )
A. f(x)dx＝f(b)－f(a)＋C
B. f(x)dx＝f′(b)－f′(a)
C. f′(x)dx＝f(b)－f(a)
D．[f(x)dx]′＝f(x)
解析：由微积分基本定理(牛顿－莱布尼兹公式)易知，C正确．
答案：C
2．如图所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )
A．| (x2－1)dx|
B. (x2－1)dx
C. |x2－1|dx
D. (x2－1)dx＋(x2－1)dx
解析：由微积分基本定理的几何意义可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx＝|x2－1|dx.故选C.
答案：C
3．(2022·郑州调研)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于(－x2)dx＝＝，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于.故选D.
答案：D
4．已知a＝dx，函数y＝ax－bx(a≠b)是奇函数，则函数y＝logbx是( )
A．增函数 B．减函数
C．常数函数 D．增函数或减函数
解析：由于a＝dx＝(ln x＋x)|＝e，
所以函数y＝ax－bx＝ex－bx，
由于此函数是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即e－x－b－x＝－ex＋bx，＝bx－ex恒成立，所以b＝，
所以函数y＝logbx＝logx是减函数．故选B.
答案：B
5．由曲线y＝ex与直线x＝0、直线y＝e所围成的图形的面积为________．
解析：曲线y＝ex与直线x＝0、直线y＝e所围成的图形的面积S＝e－exdx＝1.
答案：1
6．计算定积分(x2＋sin x)dx＝________．
解析： (x2＋sin x)dx＝＝－＝＋＝.
答案：
7. 一物体受到与它运动方向相反的力F(x)＝ex＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝1时F(x)所做的功等于________．
解析：由题意知F(x)所做的功为－dx＝－＝－－.
答案：－－
8．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a(a＞0)与抛物线y＝x2所围成的封闭图形的面积为，则a＝________．
解析：由可得A(－，a)，B(，a)，
S＝－(a－x2)dx＝(ax－x3)|－＝2(a－a)＝＝，解得a＝2.
答案：2
9．求下列定积分：
(1) dx； (2) dx；
(3) (sin x－sin 2x)dx.
解析：(1) dx＝dx＝(x2－3x－)＝.
(2) dx＝dx＝(x2＋ln x＋2x)＝－(2＋ln 2＋4)＝ln＋.
(3) ＝＝－＝－.
10．设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在点x＝1处有极值－2.
(1)求常数a，b的值；
(2)求曲线y＝f(x)与x轴所围成的图形的面积．
解析：(1)由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
f(1)＝－2且f′(1)＝0，
即解得a＝0，b＝－3，
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.作出曲线y＝x3－3x的图象(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．
由x3－3x＝0，得曲线y＝x3－3x与x轴的交点坐标是(－，0)，(0，0)和(，0)，而y＝x3－3x是R上的奇函数，函数图象关于原点中心对称，
所以(－，0)的阴影面积与(0，)的阴影面积相等．
所以所求图形的面积为
S＝2 [0－(x3－3x)]dx＝－2＝.
因此所求面积S为.
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