1、第十六节定积分及其简洁应用题号1234答案1.下列式子中,正确的是()A. f(x)dxf(b)f(a)CB. f(x)dxf(b)f(a)C. f(x)dxf(b)f(a)Df(x)dxf(x)解析:由微积分基本定理(牛顿莱布尼兹公式)易知,C正确答案:C2如图所示,图中曲线方程为yx21,用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是()A| (x21)dx|B. (x21)dxC. |x21|dxD. (x21)dx(x21)dx解析:由微积分基本定理的几何意义可得:图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S(1x2)dx(x21)dx|x21|dx.故选C.答案:C3(2022郑州调研)如图所
2、示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线yx2和曲线y围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是()A. B.C. D.解析:依题意知,题中的正方形区域的面积为121,阴影区域的面积等于(x2)dx,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于.故选D.答案:D4已知adx,函数yaxbx(ab)是奇函数,则函数ylogbx是()A增函数 B减函数C常数函数 D增函数或减函数解析:由于adx(ln xx)|e,所以函数yaxbxexbx,由于此函数是奇函数,所以f(x)f(x),即exbxexbx,bxex
3、恒成立,所以b,所以函数ylogbxlogx是减函数故选B.答案:B5由曲线yex与直线x0、直线ye所围成的图形的面积为_解析:曲线yex与直线x0、直线ye所围成的图形的面积Seexdx1.答案:16计算定积分(x2sin x)dx_解析: (x2sin x)dx.答案:7. 一物体受到与它运动方向相反的力F(x)exx的作用,则它从x0运动到x1时F(x)所做的功等于_解析:由题意知F(x)所做的功为dx.答案:8在平面直角坐标系xOy中,直线ya(a0)与抛物线yx2所围成的封闭图形的面积为,则a_解析:由可得A(,a),B(,a),S(ax2)dx(axx3)|2(aa),解得a2.
4、答案:29求下列定积分:(1) dx; (2) dx;(3) (sin xsin 2x)dx.解析:(1) dxdx(x23x).(2) dxdx(x2ln x2x)(2ln 24)ln.(3) .10设函数f(x)x3ax2bx在点x1处有极值2.(1)求常数a,b的值;(2)求曲线yf(x)与x轴所围成的图形的面积解析:(1)由题意知f(x)3x22axb,f(1)2且f(1)0,即解得a0,b3,(2)由(1)知f(x)x33x.作出曲线yx33x的图象(如图所示),所求面积为阴影部分的面积由x33x0,得曲线yx33x与x轴的交点坐标是(,0),(0,0)和(,0),而yx33x是R上的奇函数,函数图象关于原点中心对称,所以(,0)的阴影面积与(0,)的阴影面积相等所以所求图形的面积为S2 0(x33x)dx2.因此所求面积S为.