资源描述
第10课时 导数的应用
考纲索引
1. 函数的最佳.
2. 解决优化问题的基本思想.
课标要求
1. 会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
2. 会利用导数解决某些实际问题.
学问梳理
1. 函数的最值
假设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条 的曲线,则该函数在[a,b]上确定能够取得 与 .若函数在(a,b)内是 的,该函数的最值必在 处取得.
2. 解决优化问题的基本思想
基础自测
1. (教材改编)函数f(x)=12x-x3在区间[-3,3]上的最小值是( ).
A. -9 B. -16 C. -12 D. -11
2. 函数y=lnx-x在x∈(0,e]上的最大值为( ).
A. e B. 1 C. -1 D. -e
3. 用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为( ).
A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm
4. 函数f(x)=x-ex在区间[0,1]上的最小值为 .
5. 函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值是 ,最小值是 .
考点透析
考向一 函数的最大(小)值与导数
例1 (2022·浙江)已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a>0).若f(x)在[-1,1]上的最小值记为g(a).
(1)求g(a);
(2)证明:当x∈[-1,1]时,恒有f(x)≤g(a)+4.
【审题视点】 本题主要考查导数及其应用,函数的单调性与最值,不等式恒成立及其应用,不等式的证明.(1)通过函数关系式的变化,结合参数a的取值状况加以分类分析,进而确定在给定区间内的最值问题即可;(2)通过不等式恒成立问题的转化,结合导数及其应用,函数的单调性等来证明相应的不等式问题.
【方法总结】 在解决类似的问题时,首先要留意区分函数最值与极值的区分.求解函数的最值时,要先求函数y=f(x)在[a,b]内全部使f'(x)=0的点,再计算函数y=f(x)在区间内全部使f'(x)=0的点和区间端点处的函数值,最终比较即得.
变式训练
1. 已知函数f(x)=(x-k)ex.求:
(1)f(x)的单调区间;
(2)f(x)在区间[0,1]上的最小值.
考向二 导数在实际问题中的应用
例2 (2021·泰安模拟)某种产品每件成本为6元,每件售价为x元(x>6),年销售为u万件,若已知与成正比,且售价为10元时,年销量为28万件.求:
(1)年销售利润y关于售价x的函数关系式;
(2)售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.
【审题视点】 利用待定系数法求出比例系数,从而确定u,可写出y的函数,依据导数求出最值.
【方法总结】 1. 导数在实际问题中的应用.
在求实际问题中的最值时,一般要先恰当的选择变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然后利用导数加以解决.留意检验结果与实际是否相符.
2. 实际问题中的最值.
依据实际意义,函数存在最值,而函数只有一个极值,则函数的极值就是最值.
变式训练
2. (2021·福建模拟)某分公司经销某品牌产品,每件产品成本3元,且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,估量当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x(元)的函数关系式;
(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出L的最大值Q(a).
经典考题
典例 (2022·重庆一模)经调查统计,某种型号的汽车在匀速行驶中,每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数可表示为(0<x≤100).已知甲、乙两地相距100千米,在匀速行驶速度不超过100千米/时的条件下,该种型号的汽车从甲地到乙地的耗油量记为f(x)(升).
(1)求函数f(x)的关系式;
(2)争辩函数f(x)的单调性,当x为多少时,耗油量f(x)为最少?最少为多少升?
【解题指南】 本题考查导数在争辩函数单调性,最值中的应用.
【解】 (1)由题意,得汽车从甲地到乙地行驶了小时,
令f'(x)=0,得x3-216000=0,x=60.
①当x∈(0,60)时,f'(x)<0,f(x)是减函数;
②当x∈(60,100]时,f'(x)>0,f(x)是增函数;
所以当x=60,即汽车的行驶速度为60(千米/时)时,从甲地到乙地的耗油量f(x)为最少,最少耗油量为f(60)=7(升).
真题体验
1. (2022·四川)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;
(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2<a<1.
2. (2022·湖北)π为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数.求:
(1)函数的单调区间;
(2)e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数与最小数.
参考答案与解析
学问梳理
1. 连续不间断 最大值 最小值 可导 极值点或区间端点
基础自测
1. B 2. C 3. 1-e 4. 5 -15
考点透析
(2) 令h(x)=f(x)-g(a),
①当0<a<1时,g(a)=a3.
若x∈[a, 1], h(x)=x3+3x-3a-a3,得h'(x)=3x2+3,
则h(x)在(a, 1)上是增函数,
所以h(x)在[a, 1]上的最大值是h(1)=4-3a-a3.
由于0<a<1,所以h(1)≤4.
故f(x)≤g(a)+4.
若x∈[-1, a], h(x)=x3-3x+3a-a3,得h'(x)=3x2-3,
则h(x)在(-1, a)上是减函数,
所以h(x)在[-1, a]上的最大值是h(-1)=2+3a-a3.
令t(a)=2+3a-a3,则t'(a)=3-3a2>0,
知t(a)在(0, 1)上是增函数,所以t(a)<t(1)=4,即h(-1)<4.
故f(x)≤g(a)+4.
②当a≥1时,g(a)=-2+3a,
故h(x)=x3-3x+2,得h'(x)=3x2-3.
此时h(x)在(-1, 1)上是减函数,
因此h(x)在[-1, 1]上的最大值是h(-1)=4.
故f(x)≤g(a)+4.
综上,当x∈[-1, 1]时,恒有f(x)≤g(a)+4.
所以y=(-2x2+21x+18)(x-6)
=-2x3+33x2-108x-108. (x>6)
(2) y'=-6x2+66x-108
=-6(x2-11x+18)
=-6(x-2)(x-9).
令y'=0,得x=2(由于x>6,故舍去)或x=9,
明显,当x∈(6, 9)时,y'>0;当x∈(9, +∞)时,y<0,
所以函数y=-2x3+33x2-108x-108在(6, 9)上是增加的;
在(9, +∞)上是削减的.
所以当x=9时,y取最大值,且ymax=135.
所以售价为9元时,年利润最大,最大年利润为135万元.
变式训练
1. (1) f'(x)=(x-k+1)ex.令f'(x)=0,得x=k-1.
f(x)与f'(x)的状况如下:
x
(-∞, k-1)
(k-1)
(k-1, +∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
-ek-1
↗
所以f(x)的单调递减区间是(-∞, k-1);单调递增区间是(k-1, +∞).
(2) 当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0, 1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0, 1]上的最小值为f(0)=-k;
当0<k-1<1,即1<k<2时,
由(1),知f(x)在[0, k-1]上单调递减,在(k-1, 1)上单调递增,所以f(x)在区间[0, 1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1;
当k-1≥1时,即k≥2,函数f(x)在[0, 1]上单调递减,所以f(x)在区间[0, 1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.
2. (1) 依据题意,知L(x)=(x-3-a)(12-x)2, x∈[9, 11].
(2) 由(1),知L'(x)=(12-x)(18+2a-3x),
经典考题
真题体验
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