资源描述
第3节 功率
理解领悟
本节课的重点是对功率、额定功率与实际功率、平均功率与瞬时功率等概念的理解和计算，而发动机的额定功率与汽车的最大速度的关系则学习的难点。
1. 正确理解功率概念
做功有快慢之分。那么，如何比较做功的快慢呢？
比较做功的快慢一般有两种方法：一是在相等的时间内，比较做功的多少；二是做同样多的功，比较做功时间的长短。例如两个机械甲和乙，甲机械4s做功2×104J，乙机械2s做功1.5×104J，则在相等的时间1s内，甲机械做功5×103J，乙机械做功7.5×103J，可知乙机械做功较快；做同样多的功6×104J，甲机械需时12s，乙机械只需8s，同样可知乙机械做功较快。在物理学中常接受第一种方法。
事实上，凡描述快慢的物理量，肯定跟时间有关。例如：描述物体运动快慢的物理量是位移与发生这段位移所用时间的比值，描述速度变化快慢的物理量是速度的变化量与完成这一变化所用时间的比值。我们用“功率”来描述力对物体做功的快慢。因此，功率P应是力对物体所做的功W与完成这些功所用时间t的比值，即
。
与速度、加速度的定义式相比较，虽然它们争辩的是不同性质的问题，但是争辩方法是相同的，物理学中有很多物理量是用比值的方法来定义的。
在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是W。技术上常用千瓦（kW）, 1kW=1 000W。
在日常生活中，我们经常说某台机械的功率，或某物体做功的功率。实际上功率是指某一个力对物体做功的功率。例如：汽车的功率就是汽车牵引力的功率，起重机吊起货物的功率就是钢绳拉力的功率。
2. 区分额定功率与实际功率
额定功率这一概念日常生活中经常用到，如各种家用电器的铭牌上都标有额定功率的值，这是指机器正常工作时的最大输出功率。但是，机器在实际工作时不肯定是在额定功率下工作，实际功率一般总小于或等于额定功率。假如机器长时间在大于额定功率下工作，机器就会损坏。
3. 区分平均功率与瞬时功率
即使是同一个力对物体做功，其功率也可能是有变化的。在一段时间内力对物体做功的功率，实际上就是这段时间内力对物体做功的平均功率，即依据计算出的功率是物体在时间t内的平均功率。
平均功率只能粗略地描述做功的快慢，其数值与具体的物理过程有关。例如：重为10N的物体做自由落体运动1s，下落的距离是4.9m，则在此1s内重力做功的平均功率为49W；若自由下落2s，则下落的位移为19.6m，在此2s内重力做功的平均功率为98W。
由 ，W=Flcosα及，
可推出公式 P=Fvcosα，
式中v为物体的平均速度，α为恒力F与物体的位移间的夹角，P为相应时间内的平均功率。
要精确地描述做功的快慢，必需用瞬时功率。当△t很短时，
，
而这时式中的v为物体的瞬时速度，α为力F与物体的瞬时速度间的夹角，P为相应时刻的瞬时功率。
可见，对于公式P=Fvcosα，当v表示平均速度时，P为相应时间段内的平均功率；当v表示瞬时速度时，P为相应时刻的瞬时功率。
必需强调的是：平均功率对应的是一段时间或一个过程，并且同一物体在不同的时间段的平均功率一般不等，讲平均功率必需讲清是做功的物体在哪一段时间内或哪一个过程中的平均功率；瞬时功率对应的是某一时刻或某一位置，讲瞬时功率必需讲清是做功的物体在哪个时刻或哪个位置的瞬时功率。
4. 汽车牵引力与速度的关系
当汽车在某一恒定的输出功率下行驶时，由P=Fv知，，即速度越大，牵引力越小；反之，要使汽车获得较大的牵引力，就必需减小速度。我们看到汽车上坡时，常改用慢速档（转变齿轮传速的齿轮数比），就是这个缘由。
另外，汽车在水平路面是能够达到的最大速度是衡量汽车性能的一个重要指标。在汽车输出功率肯定的条件下，要提高行驶速度就必需以减小牵引力为代价，然而牵引力最小必需等于阻力，因此通过减小牵引力来提高速度，其效果是有限的。必需提高汽车发动机的额定功率。汽车行驶的最大速度对应于汽车以最大输出功率（一般认为等于额定功率）匀速行驶（此时牵引力等于阻力），因此，要提高速度，必需提高汽车发动机的额定功率。
5. 对教材中“例题”的说明
例题争辩了汽车以额定功率行驶和小于额定功率以较低速度行驶两种不同的状况，均涉及公式P=Fv。在题旁的眉批中有这样一个问题：假如汽车加速行驶，结果会有什么不同？由公式P=Fv可知，汽车加速行驶时牵引力和速度均需增大，从而汽车发动机的输出功率需增大。只要输出功率不超过额定功率，发动机能正常工作；假如输出功率超过了额定功率，则只能段时间运行，加速过程不能长久。
6. 正确理解公式P=Fv
有些同学依据P=Fv得出“当P肯定时，v→0，F→∞；或者F→0，v→∞”，即“额定功率肯定时，瞬时速度趋近于0，牵引力就趋近于无穷大；或牵引力趋近于0，瞬时速度就趋近于无穷大”。这个结论明显是错误的。
从P=Fv可知，当机械的功率肯定时，需要用较大的力做功，就必需降低速度。但是，任何机器的作用力都不行能无限制增大，由于它受到了机器结构、运转条件等的限制，超过某一限度，作用力与速度成反比的规律就不成立了，因此任何机器都存在着一个最大作用力。
另一方面，当机械功率肯定时，要高速运转则作用力就要减小。但是，任何机器工作时都要受到摩擦力的作用，因此机器工作产生的作用力就不行能小于这个摩擦力，所以任何机器还存在着一个最大速率的限制。
这就是说，机器正常工作时的功率是额定功率，除了额定功率外，任何机器都还存在着最大作用力和最大速率的限制。
由以上分析可以看到，在争辩物理问题时，如不究其物理意义和适用范围，而单从数学表达式得到的一些结论，往往是不成立的。
7. 汽车运动的两种物理模型
汽车的运动有两种典型的物理过程模型：
① 汽车以恒定的功率起动
汽车以恒定功率起动后，若运动过程中所受阻力Ff不变，由于牵引力
，
依据牛顿其次定律可得 F－Ff=ma，
故汽车的加速度 。
可见，随着汽车速度的增大，加速度减小，当加速度a=0时，汽车的速度达到最大值
，
以后汽车将做匀速直线运动。
所以，汽车以恒定的功率起动后，先做加速度越来越小的变加速运动，最终做匀速运动。
② 汽车以恒定的加速度起动
汽车以恒定的加速度起动后，开头加速度不变，汽车做匀加速运动，由
得 P=(ma+Ff)v。
当其速度增大至肯定值v1时，功率达到额定功率Pe，此时有
，
以后速度再增大，由于汽车的功率以达额定功率而不变，所以牵引力减小，加速度随之减小，直至a=0，汽车的速度达最大值，以后汽车做匀速运动。
所以，汽车以恒定的加速度起动后，先做匀加速运动，后做做加速度越来越小的变加速运动，最终做匀速运动。
8. 柴油机车的功率与效率
柴油机车是以柴油机产生的动力通过传动装置驱动车轮的机车。
柴油机不能自己起动，需要借助另一个小动力机械或高压压缩空气在无负荷（于机车动轴脱离联系）状态下才能起动。起动后要在肯定的转速范围内才能获得足够的转矩和功率来驱动机车。而机车的速度变化格外大，从静止到最大速度，即动轮转速从0到最高转速。故不能将柴油机轴直接和机车轴连接，必需在两者之间配装一套可变转速和转矩的传动装置做媒介，将动力传送到机车动轴。传动装置应能充分发挥柴油机功率，又使机车具有良好的牵引特性，而且效率要高。
常用的柴油机车的传动装置有机械传动装置、液力传动装置和电力传动装置。
9. 了解身边各种机械的功率
本节教材在“做一做”栏目中要求调查自己四周的各种机械的功率，看看这些机械的功率与它们的体积和耗油量有没有关系，或者收集各种说明书，了解一些机械的功率，并能了解到功率的大小与它们的效能之间的关系。这是课程标准中明确要求的（课程标准中有一条：关怀生活和生产中常见机械功率的大小及其意义）也是我们观看自己身边事物和参与社会实践活动的好机会，应乐观参与，认真做好。
典型例题解析
本节学问的应用主要涉及对功率、额定功率与实际功率、平均功率与瞬时功率等概念的理解和计算。
例1 自动扶梯以恒定速率运送乘客上同一层楼，某人第一次站在扶梯上不动，其次次沿扶梯匀速向上走，设两次运送乘客所做的功分别为W1和W2，牵引力的功率分别为P1和P2，则有（ ）
A. W1=W2，P1＞P2 B. W1=W2，P1＜P2
C. W1＞W2，P1=P2 D. W1＞W2，P1＞P2
提示 此人站在扶梯上和沿扶梯匀速上走，对扶梯的压力均等于人的重力，故扶梯以恒定速率运送乘客的牵引力不变。
解析 两次牵引力相同，扶梯的速度相同，由 P=Fv可知功率相同，即P1=P2。
由可得，W=Pt。因P1=P2，而t1＞t2，故W1＞W2。
正确选项为C。
点悟 挖掘两次牵引力相同这一隐含条件，是作出正确推断的关键。对功的比较，也可这样分析：两次做功的效果相同，但其次次除了扶梯做功外，乘客沿扶梯向上走也在做功，故有W1＞W2。另外，从本题的求解中我们还看到，功除了可用公式W=Flcosα计算外，还可用功与功率的关系式W=Pt计算。
例2 一辆汽车以功率P1在平直大路上匀速行驶，若驾驶员突然减小油门，使汽车的功率减小为P2并连续行驶。若整个过程中阻力恒定不变，此后汽车发动机的牵引力将（ ）
A. 保持不变 B. 不断减小
C. 先减小，后保持不变 D. 先增大，后保持不变
提示 查找功率与速度、加速度、牵引力之间的联系。
解析 由P1=Fv知，当汽车以功率P1匀速行驶时，F=Ff ，加速度a=0。若突然减小油门，汽车的功率由P1减小到P2，则F突然减小。整个过程中阻力Ff恒定不变，即F＜Ff ，此时加速度a＜0，所以汽车将减速。由P2=Fv知，此后保持功率P2不变连续行驶，v减小，F增大。当F=Ff时，汽车不再减速，而以一较小速度匀速行驶，牵引力不再增大。正确选项为C。
点悟 本题涉及对发动机的功率与牵引力和汽车行驶速度间的关系的分析，关键是依据功率的计算式P=Fv和牛顿其次定律F－Ff=ma这两个基本关系式及物体做加速和减速运动的条件进行争辩。
例3 一个质量为1kg的物块，沿倾角为37°的光滑斜面由静止开头下滑，当它下滑4s时重力的瞬时功率多大？这4s内重力的平均功率多大？(g取10m/s2)
提示 留意瞬时功率与平均功率的区分。
解析 由mgsin37°=ma得，物块下滑的加速度
a=g sin37°=10×0.6m/s2=6m/s2。
物块的瞬时速度 v=at=6×4 m/s=24m/s，
发生的位移 l=at2m=48m。
从而，物块下滑4s时重力的瞬时功率
P=mgvsin37°=1×10×24×0.6W=144W。
这4s内重力的平均功率
W=72W。
点悟 功率除可直接用定义式计算外，还可用计算公式P=Fvcosα计算。用功率的定义式求出的是平均功率（若功率恒定，亦为瞬时功率）。用功率的计算公式求功率时，若v为平均速度，则P为平均功率；若v为瞬时速度，则P为瞬时功率。请你用计算本题中重力的平均功率。
例4 铁路提速，要解决很多技术问题。通常，列车阻力与速度平方成正比，即Ff=kv2。列车要跑得快，必需用大功率的机车来牵引。试计算列车分别以120km/h和40km/h的速度匀速行驶时，机车功率大小的比值。
提示 列车匀速行驶时，牵引力F与列车受到的阻力Ff相等。
解析 因F=Ff，而Ff=kv2，则机车的功率为
P=Fv=Ff v= kv2·v=kv3∝v3。
所以，所求机车功率大小的比值
。
点悟 本题涉及机车功率的计算，机车的功率即牵引力的功率，故有P=Fv。
例5 人的心脏每跳动一次大约输送8×10-5m3的血液，正常人的血压（可看作心脏压送血液的压强）的平均值约为1.5×104Pa，心跳每分钟70次，据此估算心脏工作的平均功率。
提示 心脏压送血液，类似于活塞在圆柱形管道中推动液体做功的状况。
PS
l
图5—23
解析 如图5—23所示，设血管的横截面积为S，血压为P，则压力F=PS。压送一次的位移为l，压送一次做功
W1=Fl=PSl=P△v。
由功率的定义式可得心脏工作的平均功率为
W=1.4W。
点悟 解答本题的关键是建立起实际问题的物理模型。流体恒压做功的公式W=P△v虽是通过简洁的模型推导出来的，但它对全部流体恒压做功时均适用。
例6 汽车的质量为m=6.0×103kg，额定功率为Pe=90kW，沿水平道路行驶时，阻力恒为重力的0.05倍，g取10m/s2，问：
（1）汽车沿水平道路匀速行驶的最大速度有多大？
（2）设汽车由静止起匀加速行驶，加速度a=0.5m/s2，汽车匀加速运动可维持多长时间？
（3）汽车做匀加速运动的最大速度有多大？
提示 汽车在水平路面上达到最大速度时，加速度为0，牵引力和阻力平衡，汽车的实际功率达到额定功率。当汽车由静止开头匀加速行驶时，牵引力恒定且大于阻力，瞬时速度越来越大，瞬时功率也越来越大。当瞬时功率达到额定功率时，汽车的功率不能再增加，汽车将保持额定功率行驶，由于瞬时速度的增加，汽车的牵引力将减小，即汽车将做加速度越来越小、速度越来越大的变加速运动。当牵引力减小到与阻力平衡时，汽车改做匀速运动，速度达到第一问中的数值——汽车在此路面上的最大速度。
解析 （1）汽车匀速行驶时，牵引力与阻力大小相等、方向相反，有
F－0.05mg=0，
汽车的额定功率 Pe=Fvm，
故汽车沿水平道路匀速行驶的最大速度
vmm/s=30m/s。
（2）汽车匀加速运动时有 F’－0.05mg=ma，
汽车的瞬时速度为 v=at，
汽车的瞬时功率为 P=F’ v，
要求瞬时功率小于或等于额定功率，即 P≤Pe，
解得 t≤s=30s。
所以，汽车做匀加速运动的最长时间为 tm=30s。
（3）汽车做匀加速运动的最大速度为
v’m=a tm=0.5×30m/s=15m/s。
点悟 有些同学计算汽车匀加速运动可维持的时间时，用汽车在水平路面上的最大速度除以加速度，得到时间为60s。这种做法默认了汽车可以始终保持匀加速运动直至达到最大速度，是错误的。在用公式P=Fv时，必需结合具体的物理过程作细致的分析，应弄清楚是什么物理量保持恒定。例如，在匀加速运动中是汽车的牵引力F保持恒定，而在达到额定功率后是汽车的功率保持恒定。
课本习题解析
1. 在货物匀速上升时，电动机对货物的作用力为
F=mg=2.7×104×10N=2.7×105N。
由P=Fv，可得提升货物的速度
m/s≈3.7×10-2m/s。
2. 这台抽水机的输出功率为
W=3×103W。
它半小时能做功 W=Pt=3×103×1 800J=5.4×106J。
3. 此人推导的前提不明确。从P=Fv推出，F增大则P增大的前提是v不变；从推出，P增大则v增大的前提是F不变；从推出，v增大则F减小的前提是P不变。
对此类问题的分析，应留意联系实际。有时机械是以肯定功率运行的，这时P肯定，则F与v成反比；有时机械是以恒定牵引力工作的，这时P与v成正比。
4.（1）汽车的加速度减小，速度增大。由于，此时开头发动机在额定功率下运行，由P=Fv，P肯定，v增大则F减小，而，所以加速度减小。
（2）当加速度减小到0时，汽车做匀速运动，F=Ff ，所以，此为汽车在额定功率P下行驶的最大速度。
巩固练习
1. 关于功率，以下说法中正确的是（ ）
A. 依据可知，机械做功越多，其功率越大
B. 依据P=Fv可知，汽车的牵引力肯定与速率成反比
C. 由可知，只要知道时间内机械所做的功，就可以求得这段时间内任一时刻的功率
D. 由P=Fv可知，当发动机功率肯定时，交通工具的牵引力与运动速率成反比
2. 在平直大路上以一般速度匀速行驶的自行车所受阻力约为人和车总重的0.02倍，骑车人的功率约为（ ）
A. 0.1kW B. 10-3kW C. 1kW D. 10kW
3. 火车做匀加速直线运动中，若阻力不变，则牵引力F和瞬时功率P的变化状况是（ ）
A. F不变，P变大 B. F变小，P不变
C. F变大，P变大 D. F、P都不变
4. 同一恒力按同样方式施于物体上，使它分别沿着粗糙水平地面和光滑水平地面移动相同的一段距离，恒力的功和功率分别为W1、P1和W2、P2，则两者的关系是（ ）
A. W1＞W2, P1＞P2 B. W1=W2, P1＜P2
C. W1=W2, P1＞P2 D. W1＜W2, P1＜P2
5. 汽车在平直大路上由静止开头做匀加速直线运动，发动机的牵引力恒定为1000N，其加速度为0.5m/s2，则在最初2s内汽车发动机的平均功率是多大？
6. 起重机吊起一质量为200kg的货物，使其从静止开头竖直加速上升，经2s货物的速度达到5m/s，则起重机在这2s内起吊货物的功率是多大？
7. 汽车发动机的额定功率为60kW，汽车在行驶中受到的阻力恒为3.0×103N，当汽车以额定功率行驶时可达到的最大速度有多大？当汽车以54km/h的速度匀速行驶时，汽车发动机的实际功率有多大？
8. 一物体静止于光滑水平面上。现先对该物体施一水平向右的恒力F1，经时间t后撤去F1，马上再对它施一水平向左的恒力F2，又经同样的时间t物体回到动身点。在这一过程中，F1、F2对物体做的功分别为W1、W2，则下列关系式中正确的是（ ）
图5—24
A
B
K
h
A. W2=W1 B. W2=2W1 C. W2=3W1 D. W2=5W1
9. 如图5—24所示，连通器两液面的高度差h=30cm，阀门K关闭，活塞A的面积SA=4×10-4m2，活塞B的面积SA=2×10-4m2，大气压强p0=1.0×105Pa。现打开阀门K，直到两液面相平的过程中，大气压力对活塞A做了多少功？大气压力对活塞B做了多少功？大气压力通过活塞对液体做的总功为多大？
10．额定功率为80kW的汽车，在平直的大路上行驶的最大速度为20m/s，汽车的质量为2t。假如汽车从静止开头做匀加速直线运动，加速度的大小为2m/s2，运动过程中阻力不变，则汽车维持匀加速运动的时间有多长？
参考答案
1. D 2. A 3. A 4. B
5. 最初2s内汽车通过的位移
l=at2m=1m，
故汽车发动机的平均功率 W=500W。
6. 起重机起吊货物的功率就是钢绳拉力的功率，而不是合力的功率；拉力在2s内的功率指的是平均功率，而不是2s末的瞬时功率。由
m/s2=2.5 m/s2, F=m(g+a)=200×(10+2.5)N=2.5×103N,
可得起重机的功率为 W=6.25×103W。
7. 汽车达到最大速度时，牵引力与阻力大小相等，即 F=Ff ,
故汽车的最大速度 m/s=20m/s。
当v=54km/h=15m/s时，汽车的实际功率
P=Fv=Ff v=3.0×103×15W=4.5×104W=45kW。
8. C 设物体在恒力F1作用下运动的位移为x1，在恒力F2作用下运动的位移为x2，依据匀变速直线运动的规律有 。
在第一段时间t末，物体的速度为。
v1也是物体在F2作用下做匀变速直线运动的初速度。争辩作用的全过程，依据匀变速直线运动的规律有 。
依题意有 x2=－x1，
将上述x1、x2的表达式代入上式，可得 F2=3F1。
依据功的公式，有 W1=F1x1，W2=－F2x2，
可见 W2=3 W1。
9. 设两液面相平常活塞A下降x，则活塞B 上升（h－x）。由
SAx=SB (h－x)，
可得 x=m=0.1m。
所以，大气压力对活塞A做功
WA=p0SAx=1.0×105×4×10-4×0.1J=4J，
大气压力对活塞B做功
WB=－p0SB (h－x)=－1.0×105×2×10-4× (0.3－0.1)J=－4J，
大气压力通过活塞对液体做的总功
W=WA+WB=4 J +(－4) J=0。
10．在输出功率等于额定功率的条件下，当牵引力F等于阻力Ff时，汽车的速度达到最大。以vm表示最大速度，则阻力
N=4×103N。
汽车做匀加速运动时，有 F’－Ff=ma，
故此阶段牵引力 F’ =ma+Ff=2×103×2N+4×103N=8×103N。
在此阶段，当汽车输出功率增大到等于额定功率时，汽车的速度达到匀加速运动的末速度 m/s=10m/s。
从而，汽车维持匀加速运动的时间
s=5s。
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
