高中数学(北师大版)选修2-1教案：第2章-知识归纳：立体几何中的向量方法.docx

学问归纳：立体几何中的向量方法
1.直线的方向向量：我们把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量.
2.平面的法向量：假如表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，假如，那么向量叫做平面的法向量.给定一个点，以向量为法向量的平面是完全确定的.
3.空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及到的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，争辩点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
4.用向量争辩空间线面关系，设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则有如下结论

平 行
垂 直
与

与

与

5.用向量法求线线角：与的夹角和与的夹角相等或互补.公式为.
6.法向量求线面角：设平面的斜线l与平面所成的角为1，斜线l与平面的法向量所成角2，则1与2互余或与2的补角互余.求出斜线与平面的法向量所成的角后，即可求出斜线与平面所成的角的大小.公式为.
7.法向量求面面角：一个二面角的平面角1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补.求出两平面的法向量所成的角后，即可求出二面角的大小.公式为.
8.向量法求异面直线间的距离：设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的向量为，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模.公式为
9.向量法求点到平面的距离：设分别以平面外一点P与平面内一点M为起点和终点的向量为，平面的法向量为，则P到平面的距离d等于在方向上正射影向量的模.公式为.