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限时·规范·特训
[A级 基础达标]
1. 设随机变量的分布列如表所示，且E(ξ)＝1.6，则a×b＝( )
ξ
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
A. 0.2 B. 0.1
C. 0.15 D. 0.4
解析：由分布列的性质，得0.1＋a＋b＋0.1＝1.
∴a＋b＝0.8.①
又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，
得a＋2b＝1.3.②
由①②解得a＝0.3，b＝0.5，∴a×b＝0.3×0.5＝0.15.
答案：C
2. 某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X，得分为Y，则E(X)，D(Y)分别为( )
A. 0.6,60 B. 3,12
C. 3,120 D. 3,1.2
解析：X～B(5,0.6)，Y＝10X，∴E(X)＝5×0.6＝3，D(X)＝5×0.6×0.4＝1.2，D(Y)＝100D(X)＝120.
答案：C
3. [2021·绵阳诊断]已知随机变量ξ听从正态分布N(，σ2)，且P(0≤ξ≤)＝a, 则P(ξ<0)＝( )
A. a B.
C. 1－a D. －a
解析：由随机变量ξ听从正态分布N(，σ2)，且P(0≤ξ≤)＝a，可得P(≤ξ≤1)＝a，且P(ξ<0)＝P(ξ>1)＝＝－a.故选D.
答案：D
4. [2021·沈阳高三检测]已知ξ～B(4，)，并且η＝2ξ＋3，则方差D(η)＝( )
A. B.
C. D.
解析：D(ξ)＝4××(1－)＝，
∵η＝2ξ＋3，
∴D(η)＝4·D(ξ)＝4×＝.
答案：A
5. [2021·济南模拟]现有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机地、无放回地抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是( )
A. 6 B. 7.8
C. 9 D. 12
解析：P(ξ＝6)＝，P(ξ＝9)＝，
P(ξ＝12)＝，
则E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
答案：B
6. [2021·嘉兴模拟]甲乙两人分别独立参与某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后通过的人数X的数学期望是( )
A. B.
C. 1 D.
解析：依题意，X的取值为0,1,2，
且P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，
P(X＝1)＝×(1－)＋(1－)×＝，
P(X＝2)＝×＝.
故X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝，故选A.
答案：A
7. 已知某随机变量X的概率分布列如下表，其中x>0，y>0，随机变量X的方差D(X)＝，则x＋y＝________.
X
1
2
3
P
x
y
x
解析：由分布列性质，得2x＋y＝1，E(X)＝4x＋2y＝2.
又D(X)＝，即D(X)＝(－1)2·x＋12·x＝，解得x＝，∴y＝1－＝，故x＋y＝.
答案：
8. 两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望E(ξ)＝________.
解析：ξ的取值有0,1,2.P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝，
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
答案：
9. 某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分(每道题都必需回答，但相互不影响)．设某同学对每道题答对的概率都为，则该同学在面试时得分的期望值为________分．
解析：设面试时得分为随机变量X，由题意可知，X的取值可以是－15,0,15,30.
则P(X＝－15)＝3＝，
P(X＝0)＝C×2×＝，
P(X＝15)＝C××2＝，
P(X＝30)＝3＝，
∴E(X)＝－15×＋0×＋15×＋30×＝15.
答案：15
10. 在某次数学考试中，考生的成果ξ听从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．
(1)试求考试成果ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？
(2)若这次考试共有2000名考生，试估量考试成果在(80,100)间的考生大约有多少人？
解：∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.9544，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成果ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.9544.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内的取值的概率是0.6826，所以考试成果ξ位于区间(80,100)内的概率是0.6826.一共有2000名考生，所以考试成果在(80,100)间的考生大约有2000×0.6826≈1365(人)．
11. 甲、乙两名同学参与一项射击玩耍，两人商定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两名同学射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为，假设甲、乙两人射击互不影响．
(1)求p的值；
(2)记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为X，求X的分布列和均值．
解：(1)设“甲射击一次，击中目标”为大事A，“乙射击一次，击中目标”为大事B，“甲射击一次，未击中目标”为大事，“乙射击一次，未击中目标”为大事，则P(A)＝，P()＝，P(B)＝p，P()＝1－p.
依题意得(1－p)＋p＝，解得p＝，故p的值为.
(2)X的取值分别为0,2,4.
P(X＝0)＝P( )＝P()P()＝×＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝4)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，
∴X的分布列为
X
0
2
4
P
∴E(X)＝0×＋2×＋4×＝.
12. 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列，期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．
解：(1)ξ的全部可能取值为0,1,2,3,4.
分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.
又E(η)＝aE(ξ)＋b，所以
当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
所以或即为所求．
[B级 知能提升]
1. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
A. 100 B. 200
C. 300 D. 400
解析：记“不发芽的种子数为ξ”，
则ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，
而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200.
答案：B
2. 若p为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的最大值为________，D(ξ)的最大值为________.
ξ
0
1
2
P
－p
p
解析：E(ξ)＝p＋1≤(0≤p≤)；D(ξ)＝－p2－p＋1≤1.
答案： 1
3. 某毕业生参与人才聘请会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
解析：由题意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，∴p＝.
随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案：
4. [2022·湖北高考]方案在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
(1)求将来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站期望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X
40<X<80
80≤X≤120
X>120
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
解：(1)依题意，p1＝P(40<X<80)＝＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，p3＝P(X>120)＝＝0.1.
由二项分布，在将来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝4＋4×3×＝0.9477.
(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．
①安装1台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.
②安装2台发电机的情形．
依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：
Y
4200
10000
P
0.2
0.8
所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.
③安装3台发电机的情形．
依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X>120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.由此得Y的分布列如下：
Y
3400
9200
15000
P
0.2
0.7
0.1
所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．
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