【1对1】2021年高中数学学业水平考试专题综合检测-模拟试卷(十二).docx

12　高中学业水平考试《数学》模拟试卷(十二)
一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)
1. 等于(　　)
A. ± B. C. － D.
2. 抛物线y2＝10x的焦点到准线的距离是(　　)
A. B. 5 C. 10 D. 20
3. 已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为(　　)
A. 0 B. －8 C. 2 D. 10
4. 已知平面对量a＝(3，1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x＝(　　)
A. －3 B. －1 C. 1 D. 3
5. 过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A. x－2y－1＝0 B. x－2y＋1＝0
C. 2x＋y－2＝0 D. x＋2y－1＝0
6. 若全集为实数集R，集合A＝{x|log(2x－1)>0}，则∁RA＝(　　)
A. B. (1，＋∞)
C. ∪[1，＋∞) D. ∪[1，＋∞)
7. 已知tan α＝，π<α<，那么cos α－sin α的值是(　　)
A. － B. C. D.
8. 设O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)
A. 2 B. 2 C. 2 D. 4
9. 在空间直角坐标系中，点M(－3，1，5)，关于x轴对称的点的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
10. 设a＝(，sin α)，b＝(cos α，)，且a∥b，则锐角α等于(　　)
A. 30° B. 60° C. 75° D. 45°
11. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中正确命题的序号是(　　)
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
12. 设Sn是等差数列的前n项和，若＝，则＝(　　)
A. 1 B. －1 C. 2 D.
13. 设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14. 已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ可能是(　　)
A. B. － C. D.
15. 设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A. a＞c＞b B. a＞b＞c
C. c＞a＞b D. b＞c＞a
16. 假如两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为(　　)
A. 8∶27 B. 2∶3 C. 4∶9 D. 2∶9
17. 下列命题中，真命题是(　　)
A. ∃x0∈R, B. ∀x∈R，2x>x2
C. “a＋b＝0”的充要条件是“＝－1” D. “a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件
18. 已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝(　　)
A. B. C. － D. －
19. 若P(2, －1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是(　　)
A. x－y－3＝0 B. 2x＋y－3＝0
C. x＋y－1＝0 D. 2x－y－5＝0
20. 若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC(　　)
A. 确定是锐角三角形
B. 确定是直角三角形
C. 确定是钝角三角形
D. 可能是锐角三角形，也可能是直角三角形

(第21题)

21. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，则下列推断错误的是(　　)
A. DB1⊥平面ACD1
B. BC1∥平面ACD1
C. BC1⊥DB1
D. 三棱锥P－ACD1的体积与P点位置有关
22. 垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是(　　)
A. x＋y－＝0 B. x＋y＋1＝0
C. x＋y－1＝0 D. x＋y＋＝0
23. 已知函数f(x)＝－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0<x<x0，则f(x)的值(　　)
A. 恒为正值 B. 等于0
C. 恒为负值 D. 不大于0
24. 下面是关于公差d>0的等差数列的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；p2：数列是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列是递增数列．
其中的真命题为(　　)
A. p1，p2 B. p3，p4 C. p2，p3 D. p1，p4
25. 若点O和点F(－2，0)分别是双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为(　　)
A. [3－2 ，＋∞) B. [3＋2 ，＋∞)
C. [－，＋∞) D. [，＋∞)
二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
26. 若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是______________．
27. 已知A＝{x|<2－x<}，B＝{x|log2(x－2)<1}，则A∩B＝________．
28. 设定点A(3，0)，动点P(x，y)的坐标满足约束条件则·cos∠AOP(O为坐标原点)的最大值为________．
29. 设F1，F2是双曲线C：－＝1 (a>0，b>0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
30. 已知函数f(x)＝，若对于任意的x∈N*，f(x)≥4恒成立，则实数a的取值范围是________．
三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)
31. (本题7分)已知等比数列{an}各项均为正数，且a1＋a2＝20，a3＝64，设bn＝log2an.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Tn＝＋＋＋…＋，求Tn.

32. (本题7分，有A、B两题，任选其中一题完成，两题都做，以A题计分)

[第32题(A)]

(A)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD, AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝CD＝2，PA＝2，E，F分别是PC，PD的中点．
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．
(B)如图，已知三棱锥A－BCD的侧视图，俯视图都是直角三角形，尺寸如图所示．

[第32题(B)]

(1)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
(2)在线段AC上是否存在点F，使得BF⊥平面ACD？若存在，求出CF的长度；若不存在，请说明理由．

33. (本题8分)定义在R上的单调函数y＝f(x)满足f(2)＝3，且对任意的x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).
(1)试求f(0)的值，并证明函数 y＝f(x)为奇函数；
(2)若f(m·3x)＋f(3x－9x)<3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

34. (本题8分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为4，且与椭圆x2＋＝1有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M(0，1)，与椭圆C交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆上时，求k的值．

12　2022高中学业水平考试《数学》
模拟试卷(十二)
1. B　2. B　3. B　4. C　5. A　6. D　7. B
8. C　9. A　10. D　11. A　12. A　13. A　14. C
15. A　16. C　17. D　18. C　19. A　20. C
21. D　22. A　23. A
24. D　[提示：p2：数列是递增数列是错的，例如an＝2n－9，则nan＝2n2－9n不是单调的；p3：数列是递增数列也是错的，例如an＝n，则＝1是常函数．]
25. B　[提示：由题意可知a2＝3，故－y2＝1，设P(x0，y0)，则·＝x02＋2x0＋y02＝x02＋2x0＋－1＝x02＋2x0－1(x0≥)，故(·)min＝3＋2]
26. (x－2)2＋(y＋)2＝　27. (2，3)　28. 4
29. ＋1　[提示：由于PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，F1F2＝2c，所以PF2＝c，PF1＝c，又依据双曲线的定义：c－c＝2a，即e＝＝＝＋1.]
30. [，＋∞)　[提示：对于任意的x∈N*，f(x)≥4恒成立，即等价于f(x)min≥4，另x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(x)＝f(t)＝＝t＋＋a－2(t≥2且t∈N*)，∴f(t)min＝＋a≥4，即a≥.]
31. (1)an＝4n，bn＝n　 (2)Tn＝

[第32题(A)]

32. (A)(1)证明：∵E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD.又∵CD∥AB，∴EF∥AB，∴EF∥平面PAB.　(2)解：取线段PA的中点M，连接EM，则EM∥AC，故AC与平面ABEF所成角的大小等于ME与面ABEF所成角的大小．作MH⊥AF，垂足为H，连接EH.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.又∵EF∥AB，∴EF⊥平面PAD.∵MH⊂平面PAD，∴EF⊥MH，故MH⊥平面ABEF，∴∠MEH是ME与平面ABEF所成的角．在直角△EHM中，EM＝AC＝，MH＝，得sin∠MEH＝.∴AC与平面ABEF所成的角正弦值是.

[第32题(B)]

(B)解：(1)取BD的中点O，连接AO，则AO⊥平面CBD. 以O为原点建立空间直角坐标系，如图．A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，2 ，0)，D(－1，0，0).＝(1，0，－1)，＝(－2，－2，0)，cos〈，〉＝－.∴所求异面直线AB与CD所成角的余弦值为.　(2)设＝λ，＝＋＝(－λ，2 (1－λ)，λ)，
解得λ＝，||＝||＝.
33. (1)∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，①
令x＝y＝0，代入①式，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.
令y＝－x，代入①式，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)，
即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，∴f(x)是奇函数．
(2)∵f(2)＝3，即f(2)>f(0)，又f(x)在R上是单调函数，∴f(x)在R上是增函数．∵f(m·3x)＋f(3x－9x)<3，可化为f((m＋1)·3x－9x)<f(2)，∴(m＋1)·3x－9x<2对任意x∈R恒成立．即9x－(m＋1)·3x＋2>0对任意x∈R恒成立．令t＝3x，则t>0，问题等价于t2－(1＋m)t＋2>0在(0，＋∞)上恒成立，令g(t)＝t2－(m＋1)t＋2，其对称轴方程为t＝，当<0，即m<－1时，g(t)在(0，＋∞)上递增且g(0)＝2>0，∴m<－1满足题意．当≥0时，即m≥－1时，g(t)min＝g(0)＝2>0，∴－1≤m<2－1.综上所述，实数m的取值范围为m<2－1.
34. (1)∵椭圆C的焦距为4，∴c＝2.
又∵椭圆x2＋＝1的离心率为，
∴椭圆C的离心率e＝＝＝，
∴a＝2，b＝2,
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y得(1＋2k2)x2＋4kx－6＝0.∴x1＋x2＝，x1x2＝　
由(1)知椭圆C的右焦点F的坐标为(2，0)．
∵右焦点F在圆上，∴·＝0，
∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.
即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝0. ∴(1＋k2)x1x2＋(k－2)(x1＋x2)＋5
＝(1＋k2)·＋(k－2)·＋5＝＝0，∴k＝.
经检验，当k＝时，直线l与椭圆C相交．