2022届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分-开卷速查15-导数的应用(二).docx

开卷速查(十五)导数的应用(二)A级基础巩固练1从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()A12 cm3B72 cm3C144 cm3D.160 cm3解析：设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm，则x(0,5)则y(102x)(162x)x4x352x2160x，y12x2104x160.令y0，得x2或(舍去)，ymax6122144(cm3)答案：C2若a1，则函数f(x)x3ax21在(0,2)内零点的个数为()A3B.2C1D.0解析：f(x)x22ax，由a1可知，f(x)在x(0,2)时恒为负，即f(x)在(0,2)内单调递减，又f(0)10，f(2)4a10，所以f(x)在(0,2)内只有一个零点答案：C3要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，则其高为()A. cmB.100 cmC20 cm D. cm解析：设圆锥的体积为V cm3，高为h cm，则V(400h2)h(400hh3)，V(4003h2)，由V0，得h.所以当h cm时，V最大答案：A4若函数yaex3x(xR，aR)，有大于零的极值点，则实数a的取值范围是()A(3,0)B.(，3)C. D.解析：由题可得yaex3，若函数在xR上有大于零的极值点，即yaex30有正根，明显有a0，此时xln.由x0，得参数a的范围为a3.综上知，3a0.答案：A5已知f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若ab，则必有()Aaf(b)bf(a)B.bf(a)af(b)Caf(a)bf(b)D.bf(b)af(a)解析：设函数F(x)(x0)，则F(x).由于x0，xf(x)f(x)0，所以F(x)0，故函数F(x)在(0，)上为减函数又0ab，所以F(a)F(b)，即，则bf(a)af(b)答案：A6已知定义在R上的偶函数f(x)，f(1)0，当x0时有0，则不等式xf(x)0的解集为()Ax|1x0B.x|x1或1x0Cx|x0D.x|1x1解析：当x0时有0，即0，在(0，)上单调递增f(x)为R上的偶函数，xf(x)为R上的奇函数xf(x)0，x20，0.在(0，)上单调递增，且0，当x0时，若xf(x)0，则x1.又xf(x)为R上的奇函数，当x0时，若xf(x)0，则1x0.综上，不等式的解集为x|x1或1x0答案：B7设函数f(x)6lnx，g(x)x24x4，则方程f(x)g(x)0有_个实根解析：设(x)g(x)f(x)x24x46lnx，则(x)，且x0.由(x)0，得x3.当0x3时，(x)0；当x3时，(x)0.(x)在(0，)上有微小值(3)16ln30.故y(x)的图像与x轴有两个交点，则方程f(x)g(x)0有两个实根答案：282021山东潍坊联考已知函数f(x)的定义域为1,5，部分对应值如下表：x10245f(x)121.521f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示下列关于函数f(x)的命题：函数f(x)的值域为1,2；函数f(x)在0,2上是减函数；假如当x1，t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数yf(x)a最多有4个零点其中正确命题的序号是_解析：由导数图像可知，当1x0或2x4时，f(x)0，函数单调递增，当0x2或4x5时，f(x)0，函数单调递减，当x0和x4时，函数取得极大值f(0)2，f(4)2，当x2时，函数取得微小值f(2)，又f(1)f(5)1，所以函数的最大值为2，最小值为1，值域为1,2，正确；正确；由于当x0和x4时，函数取得极大值f(0)2，f(4)2，要使当x1，t时函数f(x)的最大值是2，当2t5时，t的最大值为5，所以不正确；由f(x)a知，由于微小值f(2)1.5，极大值为f(0)f(4)2，所以当1a2时，yf(x)a最多有4个零点，所以正确故真命题的序号为.答案：9若函数f(x)2x39x212xa恰好有两个不同的零点，则a的值为_解析：由题意得f(x)6x218x126(x1)(x2)，由f(x)0，得x1或x2，由f(x)0，得1x2，所以函数f(x)在(，1)，(2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和微小值分别为f(1)，f(2)，若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点，则需使f(1)0或f(2)0，解得a5或a4.答案：5或410若函数f(x)x3a2x满足：对于任意的x1，x20,1都有|f(x1)f(x2)|1恒成立，求a的取值范围解析：由题意得，在0,1内，f(x)maxf(x)min1.f(x)x2a2，则函数f(x)x3a2x的微小值点是x|a|.若|a|1，则函数f(x)在0,1上单调递减，故只要f(0)f(1)1，即只要a2，即1|a|；若|a|1，此时f(x)minf(|a|)|a|3a2|a|a2|a|，由于f(0)0，f(1)a2，故当|a|时，f(x)maxf(1)，此时只要a2a2|a|1即可，即a2，由于|a|，故|a|110，故此式成立；当|a|1时，此时f(x)maxf(0)，故只要a2|a|1即可，此不等式明显成立综上，a的取值范围是.B级力气提升练11已知函数f(x)sinx(x0)，g(x)ax(x0)(1)若f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)f(x)x3.解析：(1)令h(x)sinxax(x0)，则h(x)cosxa.若a1，h(x)cosxa0，h(x)sinxax(x0)单调递减，h(x)h(0)0，则sinxax(x0)成立若0a1，存在x0，使得cosx0a，当x(0，x0)，h(x)cosxa0，h(x)sinxax(x(0，x0)单调递增，h(x)h(0)0，不合题意若a0，结合f(x)与g(x)的图像可知明显不合题意综上可知，a的取值范围是1，)(2)当a取(1)中的最小值为1时，g(x)f(x)xsinx.设H(x)xsinxx3(x0)，则H(x)1cosxx2.令G(x)1cosxx2，则G(x)sinxx0(x0)，所以G(x)1cosxx2在0，)上单调递减，此时G(x)1cosxx2G(0)0，即H(x)1cosxx20，所以H(x)xsinxx3在x0，)上单调递减所以H(x)xsinxx3H(0)0，则xsinxx3(x0)所以，当a取(1)中的最小值时，g(x)f(x)x3.12已知函数f(x)exmx，其中m为常数(1)若对任意xR有f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)当m1时，推断f(x)在0,2m上零点的个数，并说明理由解析：(1)依题意，可知f(x)在R上连续，且f(x)exm1，令f(x)0，得xm.故当x(，m)时，exm1，f(x)0，f(x)单调递减；当x(m，)时，exm1，f(x)0，f(x)单调递增故当xm时，f(m)为微小值也是最小值令f(m)1m0，得m1，即对任意xR，f(x)0恒成立时，m的取值范围是(，1(2)当m1时，f(m)1m0.f(0)em0，f(0)f(m)0，且f(x)在(0，m)上单调递减f(x)在(0，m)上有一个零点又f(2m)em2m，令g(m)em2m，当m1时，g(m)em20，g(m)在(1，)上单调递增g(m)g(1)e20，即f(2m)0.f(m)f(2m)0，f(x)在(m,2m)上有一个零点故f(x)在 0,2m上有两个零点