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双基限时练(九)
1．复数z＝i，复平面内z的对应点的坐标为( )
A．(0,1) B．(1,0)
C．(0,0) D．(1,1)
答案 A
2．复数z＝|z|的充要条件是( )
A．z为纯虚数 B．z为实数
C．z是正实数 D．z是非负实数
答案 D
3．复数z＝＋i2对应点在复平面( )
A．第一象限内 B．第四象限内
C．实轴上 D．虚轴上
答案 C
4．两个不相等的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则a，b，c，d之间的关系为( )
A．a＝－c，b＝d B．a＝－c，b＝－d
C．a＝c，b＝－d D．a≠c，b≠d
解析 设z1＝a＋bi(a，b∈R)的对应点为P(a，b)，
z2＝c＋di(c，d∈R)的对应点为Q(c，d)．
∵P与Q关于y轴对称，
∴a＝－c，b＝d.
答案 A
5．已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．两点 D．线段
解析 由|z|2－3|z|＋2＝0，
得(|z|－1)(|z|－2)＝0，
∴|z|＝1，或|z|＝2，
由复数模的几何意义知，z对应点的轨迹是两个圆．
答案 B
6．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是( )
A．z1>z2 B．z1<z2
C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2|
解析 |z1|＝|5＋3i|＝＝，
|z2|＝|5＋4i|＝＝，
∵<，∴|z1|<|z2|.
答案 D
7．已知复数z＝x－2＋yi的模为2，则点(x，y)的轨迹方程为__________．
解析 依题意得 ＝2，
∴(x－2)2＋y2＝8.
答案 (x－2)2＋y2＝8
8．复数z＝3＋4i对应的向量所在直线的斜率为__________．
解析 由z＝3＋4i知＝(3,4)，
∴直线的斜率为k＝.
答案
9．已知集合M＝{1,2，m2＋5m＋6＋(m2－2m－5)i}，N＝{3i}，且M∩N≠∅，则实数m的值为________．
解析 ∵M∩N≠∅，
∴m2＋5m＋6＋(m2－2m－5)i＝3i，
∴解得m＝－2.
答案 －2
10．当实数m取何值时，在复平面内与复数z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i对应点满足下列条件？
(1)在第三象限；
(2)在虚轴上；
(3)在直线x－y＋3＝0上．
解 复数z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应点的坐标为Z(m2－4m，m2－m－6)．
(1)点Z在第三象限，则
解得
∴0<m<3.
(2)点Z在虚轴上，则
解得m＝0，或m＝4.
(3)点Z在直线x－y＋3＝0上，
则(m2－4m)－(m2－m－6)＋3＝0，
即－3m＋9＝0，∴m＝3.
11．已知点集D＝{z||z＋1＋i|＝1，z∈C}，试求|z|的最小值和最大值．
解 ∵z∈C，可设z＝x＋yi(x，y∈R)，
又|z＋1＋i|＝1，
∴(x＋1)2＋(y＋)2＝1.
∴点(x，y)在以(－1，－)为圆心，半径为1的圆上．
由|z|＝知，|z|的最小值为1，最大值为3.
12．已知两个向量a，b对应的复数z1＝3和z2＝－5＋5i，求向量a与b的夹角．
解 ∵a＝(3,0)，b＝(－5,5)，
∴a·b＝－15，|a|＝3，|b|＝5.
设a与b的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝－.
∵0≤θ≤π，∴θ＝.
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