资源描述
1．2．3 同角三角函数的基本关系式
课时目标 1．理解同角三角函数的基本关系式．2．会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：_____________________________________________________________．
(2)商数关系：________________________________________________(α≠kπ＋，k∈Z)
2．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：
sin2α＝____________；cos2α＝____________；
(sin α＋cos α)2＝_________________________________________________________；
(sin α－cos α)2＝_________________________________________________________；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；
sin α·cos α＝________________________＝___________________________________．
(2)tan α＝的变形公式：
sin α＝______________；cos α＝___________________________________________．
一、选择题
1．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是( )
A． B． C．1 D．
2．若sin α＋sin2α＝1，，则cos2α＋cos4α等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若sin α＝，且α是其次象限角，则tan α的值等于( )
A．－ B． C．± D．±
4．已知tan α＝－，则的值是( )
A． B．3 C．－ D．－3
5．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为( )
A．－4 B．4 C．－8 D．8
6．若cos α＋2sin α＝－，则tan α等于( )
A． B．2 C．－ D．－2
二、填空题
7．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝________．
8．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝________．
9．已知sin αcos α＝且<α<，则cos α－sin α＝________．
10．若sin θ＝，cos θ＝，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．
三、解答题
11．化简：．
12．求证：＝．
力气提升
13．证明：
(1)－＝sin α＋cos α；
(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．
14．已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)．
(1)求sin3θ＋cos3θ的值；
(2)求tan θ＋cot θ的值．
1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．
2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要留意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来打算，切不行不加分析，凭想象乱写公式．
3．在进行三角函数式的求值时，细心观看题目的特征，机敏、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的动身点．
1．2．3 同角三角函数的基本关系式 答案
学问梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1 (2)tan α＝
2．(1)1－cos2α 1－sin2α 1＋2sin αcos α 1－2sin αcos α 2
(2)cos αtan α
作业设计
1．C 2．B 3．A
4．C [＝
＝＝＝＝－．]
5．C [tan α＋＝＋＝．
∵sin αcos α＝＝－，
∴tan α＋＝－8．]
6．B [由联立消去cos α后得(－－2sin α)2＋sin2α＝1．
化简得5sin2α＋4sin α＋4＝0
∴(sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－．
∴cos α＝－－2sin α＝－．
∴tan α＝＝2．]
7．－
8．
解析 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ
＝＝，
又tan θ＝2，故原式＝＝．
9．－
解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，
∵<α<，∴cos α<sin α．∴cos α－sin α＝－．
10．
解析 ∵sin2θ＋cos2θ＝2＋2＝1，
∴k2＋6k－7＝0，∴k1＝1或k2＝－7．
当k＝1时，cos θ＝0不符合题意，舍去．
当k＝－7时，sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝．
11．解 原式＝
＝
＝
＝
＝
＝＝＝．
12．证明 左边＝
＝
＝＝＝右边．
∴原等式成立．
13．证明 (1)左边＝－
＝－
＝－
＝－
＝
＝sin α＋cos α＝右边．
∴原式成立．
(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α
＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α
＝2＋2tan2α＋sin2α，
右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)
＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α
＝2＋2tan2α＋sin2α
∴左边＝右边，∴原式成立．
14．解 (1)由韦达定理知：sin θ＋cos θ＝a，sin θ·cos θ＝a．
∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a2＝1＋2a．
解得：a＝1－或a＝1＋
∵sin θ≤1，cos θ≤1，
∴sin θcos θ≤1，即a≤1，
∴a＝1＋舍去．
∴sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)
＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)
＝a(1－a)＝－2．
(2)tan θ＋cot θ＝＋＝
＝＝＝＝－1－．
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