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2020-2021学年高中人教B版数学必修四课时作业:1.2.3.docx

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1.2.3 同角三角函数的基本关系式 课时目标 1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明. 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:_____________________________________________________________. (2)商数关系:________________________________________________(α≠kπ+,k∈Z) 2.同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α+cos2α=1的变形公式: sin2α=____________;cos2α=____________; (sin α+cos α)2=_________________________________________________________; (sin α-cos α)2=_________________________________________________________; (sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=________; sin α·cos α=________________________=___________________________________. (2)tan α=的变形公式: sin α=______________;cos α=___________________________________________. 一、选择题 1.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是(  ) A. B. C.1 D. 2.若sin α+sin2α=1,,则cos2α+cos4α等于(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.若sin α=,且α是其次象限角,则tan α的值等于(  ) A.- B. C.± D.± 4.已知tan α=-,则的值是(  ) A. B.3 C.- D.-3 5.已知sin α-cos α=-,则tan α+的值为(  ) A.-4 B.4 C.-8 D.8 6.若cos α+2sin α=-,则tan α等于(  ) A. B.2 C.- D.-2 二、填空题 7.已知α是第四象限角,tan α=-,则sin α=________. 8.已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ=________. 9.已知sin αcos α=且<α<,则cos α-sin α=________. 10.若sin θ=,cos θ=,且θ的终边不落在坐标轴上,则tan θ的值为________. 三、解答题 11.化简:. 12.求证:=. 力气提升 13.证明: (1)-=sin α+cos α; (2)(2-cos2α)(2+tan2α)=(1+2tan2α)(2-sin2α). 14.已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根(a∈R). (1)求sin3θ+cos3θ的值; (2)求tan θ+cot θ的值. 1.同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律,它的精髓在“同角”二字上,如sin22α+cos22α=1,=tan 8α等都成立,理由是式子中的角为“同角”. 2.已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值时,要留意公式的合理选择.一般是先选用平方关系,再用商数关系.在应用平方关系求sin α或cos α时,其正负号是由角α所在象限来打算,切不行不加分析,凭想象乱写公式. 3.在进行三角函数式的求值时,细心观看题目的特征,机敏、恰当的选用公式,统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的动身点. 1.2.3 同角三角函数的基本关系式 答案 学问梳理 1.(1)sin2α+cos2α=1 (2)tan α=  2.(1)1-cos2α 1-sin2α 1+2sin αcos α 1-2sin αcos α 2    (2)cos αtan α  作业设计 1.C 2.B 3.A 4.C [= ====-.] 5.C [tan α+=+=. ∵sin αcos α==-, ∴tan α+=-8.] 6.B [由联立消去cos α后得(--2sin α)2+sin2α=1. 化简得5sin2α+4sin α+4=0 ∴(sin α+2)2=0,∴sin α=-. ∴cos α=--2sin α=-. ∴tan α==2.] 7.- 8. 解析 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ ==, 又tan θ=2,故原式==. 9.- 解析 (cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=, ∵<α<,∴cos α<sin α.∴cos α-sin α=-. 10. 解析 ∵sin2θ+cos2θ=2+2=1, ∴k2+6k-7=0,∴k1=1或k2=-7. 当k=1时,cos θ=0不符合题意,舍去. 当k=-7时,sin θ=,cos θ=,tan θ=. 11.解 原式= = = = = ===. 12.证明 左边= = ===右边. ∴原等式成立. 13.证明 (1)左边=- =- =- =- = =sin α+cos α=右边. ∴原式成立. (2)∵左边=4+2tan2α-2cos2α-sin2α =2+2tan2α+2sin2α-sin2α =2+2tan2α+sin2α, 右边=(1+2tan2α)(1+cos2α) =1+2tan2α+cos2α+2sin2α =2+2tan2α+sin2α ∴左边=右边,∴原式成立. 14.解 (1)由韦达定理知:sin θ+cos θ=a,sin θ·cos θ=a. ∵(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,∴a2=1+2a. 解得:a=1-或a=1+ ∵sin θ≤1,cos θ≤1, ∴sin θcos θ≤1,即a≤1, ∴a=1+舍去. ∴sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ) =(sin θ+cos θ)(1-sin θcos θ) =a(1-a)=-2. (2)tan θ+cot θ=+= ====-1-.
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