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1.2.3 同角三角函数的基本关系式
课时目标 1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明.
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系:_____________________________________________________________.
(2)商数关系:________________________________________________(α≠kπ+,k∈Z)
2.同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α+cos2α=1的变形公式:
sin2α=____________;cos2α=____________;
(sin α+cos α)2=_________________________________________________________;
(sin α-cos α)2=_________________________________________________________;
(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=________;
sin α·cos α=________________________=___________________________________.
(2)tan α=的变形公式:
sin α=______________;cos α=___________________________________________.
一、选择题
1.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是( )
A. B. C.1 D.
2.若sin α+sin2α=1,,则cos2α+cos4α等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.若sin α=,且α是其次象限角,则tan α的值等于( )
A.- B. C.± D.±
4.已知tan α=-,则的值是( )
A. B.3 C.- D.-3
5.已知sin α-cos α=-,则tan α+的值为( )
A.-4 B.4 C.-8 D.8
6.若cos α+2sin α=-,则tan α等于( )
A. B.2 C.- D.-2
二、填空题
7.已知α是第四象限角,tan α=-,则sin α=________.
8.已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ=________.
9.已知sin αcos α=且<α<,则cos α-sin α=________.
10.若sin θ=,cos θ=,且θ的终边不落在坐标轴上,则tan θ的值为________.
三、解答题
11.化简:.
12.求证:=.
力气提升
13.证明:
(1)-=sin α+cos α;
(2)(2-cos2α)(2+tan2α)=(1+2tan2α)(2-sin2α).
14.已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根(a∈R).
(1)求sin3θ+cos3θ的值;
(2)求tan θ+cot θ的值.
1.同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律,它的精髓在“同角”二字上,如sin22α+cos22α=1,=tan 8α等都成立,理由是式子中的角为“同角”.
2.已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值时,要留意公式的合理选择.一般是先选用平方关系,再用商数关系.在应用平方关系求sin α或cos α时,其正负号是由角α所在象限来打算,切不行不加分析,凭想象乱写公式.
3.在进行三角函数式的求值时,细心观看题目的特征,机敏、恰当的选用公式,统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的动身点.
1.2.3 同角三角函数的基本关系式 答案
学问梳理
1.(1)sin2α+cos2α=1 (2)tan α=
2.(1)1-cos2α 1-sin2α 1+2sin αcos α 1-2sin αcos α 2
(2)cos αtan α
作业设计
1.C 2.B 3.A
4.C [=
====-.]
5.C [tan α+=+=.
∵sin αcos α==-,
∴tan α+=-8.]
6.B [由联立消去cos α后得(--2sin α)2+sin2α=1.
化简得5sin2α+4sin α+4=0
∴(sin α+2)2=0,∴sin α=-.
∴cos α=--2sin α=-.
∴tan α==2.]
7.-
8.
解析 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ
==,
又tan θ=2,故原式==.
9.-
解析 (cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=,
∵<α<,∴cos α<sin α.∴cos α-sin α=-.
10.
解析 ∵sin2θ+cos2θ=2+2=1,
∴k2+6k-7=0,∴k1=1或k2=-7.
当k=1时,cos θ=0不符合题意,舍去.
当k=-7时,sin θ=,cos θ=,tan θ=.
11.解 原式=
=
=
=
=
===.
12.证明 左边=
=
===右边.
∴原等式成立.
13.证明 (1)左边=-
=-
=-
=-
=
=sin α+cos α=右边.
∴原式成立.
(2)∵左边=4+2tan2α-2cos2α-sin2α
=2+2tan2α+2sin2α-sin2α
=2+2tan2α+sin2α,
右边=(1+2tan2α)(1+cos2α)
=1+2tan2α+cos2α+2sin2α
=2+2tan2α+sin2α
∴左边=右边,∴原式成立.
14.解 (1)由韦达定理知:sin θ+cos θ=a,sin θ·cos θ=a.
∵(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,∴a2=1+2a.
解得:a=1-或a=1+
∵sin θ≤1,cos θ≤1,
∴sin θcos θ≤1,即a≤1,
∴a=1+舍去.
∴sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)
=(sin θ+cos θ)(1-sin θcos θ)
=a(1-a)=-2.
(2)tan θ+cot θ=+=
====-1-.
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