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课时提升作业(二)
一、选择题
1.已知命题p:若x>0,y>0,则xy>0,则p的否命题是( )
(A)若x>0,y>0,则xy≤0
(B)若x≤0,y≤0,则xy≤0
(C)若x,y至少有一个不大于0,则xy<0
(D)若x,y至少有一个小于或等于0,则xy≤0
2.(2021·吉安模拟)已知条件p:x≤1,条件q:<1,则p是q的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
3.(2021·延安模拟)命题“若a,b∈R,a=b=0,则a2+b2=0”的逆否命题是( )
(A)若a,b∈R,a2+b2=0,则a≠b≠0
(B)若a,b∈R,a2+b2≠0,则a≠b≠0
(C)若a,b∈R,a2+b2≠0,则a≠0且b≠0
(D)若a,b∈R,a2+b2≠0,则a≠0或b≠0
4.(2021·合肥模拟)设a>0且a≠1,则“函数f(x)=ax在R上是增函数”是“函数g(x)=xa在R上是增函数”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
5.已知a,b,c都是实数,则在命题“若a>b,则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( )
(A)4 (B)2 (C)1 (D)0
6.(2021·安康模拟)对任意实数a，b，c给出下列命题:
①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;
②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;
④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中真命题的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
7.下列各小题中,p是q的充要条件的是( )
(1)p:m<-2或m>6;q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点.
(2)p:=1;q:y=f(x)是偶函数.
(3)p:cosα=cosβ;q:tanα=tanβ.
(4)p:A∩B=A;q: B⊆A.
(A)(1)(2) (B)(2)(3)
(C)(3)(4) (D)(1)(4)
8.已知向量a=(1,2),b=(2,3),则λ<-4是向量m=λa+b与向量n=(3,-1)夹角为钝角的( )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
9.(2021·西安模拟)已知集合M={x|log2x≤0},N={x|x2-2x≤0},则“a∈M”是
“a∈N”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
10.(2021·重庆模拟)设非零实数a,b,则“a2+b2≥2ab成立”是“+≥2成立”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
11.(力气挑战题)若m,n∈N+,则“a>b”是“am+n+bm+n>anbm+ambn”的( )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
12.(力气挑战题)已知a,b为实数,集合A={x|ax+b=0},则下列命题为假命题的是
( )
(A)当a≠0时,集合A是有限集
(B)当a=b=0时,集合A是无限集
(C)当a=0时,集合A是无限集
(D)当a=0,b≠0时,集合A是空集
二、填空题
13.若“对于任意x∈R,ax2+ax+1>0”为真命题,则实数a的取值范围是 .
14.sinα≠sinβ是α≠β的 条件.
15.(力气挑战题)在空间中:①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;
②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是 .
16.(2021·渭南模拟)已知p:2x2-9x+a<0，q:且q是p的充分条件，则实数a的取值范围是 .
三、解答题
17.已知集合A={y|y=x2-x+1,x∈[,2]},B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.
答案解析
1.【解析】选D.否命题应在否定条件的同时否定结论,而原命题中的条件是“且”的关系,所以条件的否定形式是“x≤0或y≤0”.
2.【解析】选A.p:x>1;<1,解得x<0或x>1.所以p是q的充分不必要条件.
3.【解析】选D.“a=b=0”的否定为“a≠0或b≠0”,“a2+b2=0”的否定为“a2+b2≠0”,故原命题的逆否命题是“若a,b∈R,a2+b2≠0,则a≠0或b≠0”.
4.【解析】选D.当a=2时,函数f(x)=ax在R上为增函数,函数g(x)=xa在R上不是增函数;当a=时,g(x)=xa在R上是增函数,f(x)=ax在R上不是增函数.
5.【解析】选B.原命题是一个假命题,由于当c=0时,不等式的两边同乘上0得到的是一个等式;原命题的逆命题是一个真命题,由于当ac2>bc2时,确定有c2≠0,所以必有c2>0,不等式两边除以同一个正数,不等号方向不变,即若ac2>bc2,则a>b成立.依据命题的等价关系,四个命题中有2个真命题.
6.【解析】选B.对于①，a=bac=bc，但ac=bca=b，故①错.
对于②，a+5是无理数⇔a是无理数，故②正确.
对于③，a>ba2>b2，故③错.
对于④，a<3a<5，故④正确，故选B.
7.【解析】选D.(1)y=x2+mx+m+3有两个不同的零点的充要条件是m2-4(m+3)>0,解得m<-2或m>6.
(2)由=1可得f(-x)=f(x),函数y=f(x)是偶函数,但函数y=f(x)是偶函数时,有可能f(x)=0,此时无意义.
(3)cosα=cosβ≠0时,sinα=±sinβ,得出tanα=±tanβ,cosα=cosβ=0时,tanα,tanβ无意义.
(4)A∩B=A⇔A⊆B⇔B⊆A.
综上可知,p是q的充要条件的是(1)(4).
8.【解析】选A.m=(λ+2,2λ+3),m,n的夹角为钝角的充要条件是m·n<0且m≠μn(μ<0).m·n<0,即3(λ+2)-(2λ+3)<0,即λ<-3;若m=μn,则λ+2=
3μ,2λ+3=-μ,解得μ=,故m≠μn(μ<0),所以,m,n的夹角为钝角的充要条件是λ<-3.λ<-4是m,n的夹角为钝角的充分不必要条件.
9.【解析】选A.集合M={x|0<x≤1},N={x|0≤x≤2},故“a∈M”是“a∈N”的充分不必要条件.
10.【解析】选B.若a2+b2≥2ab,则+≥2不愿定成立;若+≥2,则a2+b2≥2ab成立.
11.【解析】选D.am+n+bm+n>anbm+ambn⇔(am-bm)(an-bn)>0.当a>b时,由于a,b可能为负值,m,n奇偶不定,因此不能得出(am-bm)(an-bn)>0;当(am-bm)·(an-bn)>0时,即使在a,b均为正数时也有a<b的可能,因此也得不出a>b.所以“a>b”是“am+n+bm+n>anbm+ambn”的既不充分也不必要条件.
【误区警示】因没有留意不等式性质成立的条件而出错.
【变式备选】(2022·郑州模拟)若a1x2+b1x+c1<0和a2x2+b2x+c2<0的解集分别为集合M和N,ai,bi,ci(i=1,2)均不为零,那么“a1b2=a2b1且a1c2=a2c1”是“M=N”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【解析】选D.若a1b2=a2b1且a1c2=a2c1,则有===k,
当k<0时,M≠N;
反之,若M=N,
则a1b2=a2b1且a1c2=a2c1不愿定成立,
故“a1b2=a2b1且a1c2=a2c1”是“M=N”的既不充分也不必要条件.
12.【思路点拨】集合A是一个含有参数的方程的解的集合,依据参数的不同取值这个方程解的个数也不同,分类争辩即可解决.
【解析】选C.A中,当a≠0时,有x=-,此时集合A是有限集;B中,当a=b=0时,一切实数x都是集合A的元素,此时集合A是无限集;C中,当a=0时,方程变为0x+b=0,此时只有b=0集合A才可能是无限集;D中,当a=0,b≠0时,没有实数x满足ax+b=0,此时集合A是空集.
13.【解析】问题等价于对任意实数x,不等式ax2+ax+1>0恒成立.当a=0时,明显成立;当a≠0时,只能是a>0且Δ=a2-4a<0,即0<a<4.故a的取值范围是[0,4).
答案:[0,4)
【误区警示】因忽视二次项系数可能为零的状况而出错.
14.【解析】即推断α=β是sinα=sinβ的什么条件,明显是充分不必要条件.
答案:充分不必要
15.【解析】①中的逆命题是:在空间中,若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观看:上底面A1C1内A1,B1,C1,D1四点中任何三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以①中逆命题为假命题.②中的逆命题是:在空间中,若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点.所以②中逆命题是真命题.
答案:②
16.【思路点拨】求出条件q，由q是p的充分条件知qp，再转化为不等式恒成立问题求解.
【解析】由得∴2<x<3.
∵q⇒p，
∴x∈(2，3)时，2x2-9x+a<0恒成立.
记f(x)=2x2-9x+a，则即
∴a≤9.
答案:(-∞，9]
17.【解析】y=x2-x+1=(x-)2+,
∵x∈[,2],∴≤y≤2,
∴A={y|≤y≤2}.
由x+m2≥1,得x≥1-m2,
∴B={x|x≥1-m2}.
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件,∴A⊆B,
∴1-m2≤,解得m≥或m≤-,
故实数m的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞).
【变式备选】求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
【证明】必要性:
若方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
则x=1满足方程ax2+bx+c=0,
∴a+b+c=0.
充分性:
若a+b+c=0,则b=-a-c,
∴ax2+bx+c=0可化为ax2-(a+c)x+c=0,
∴(ax-c)(x-1)=0,
∴当x=1时,ax2+bx+c=0,
∴x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根.
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