2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：6.1-不等关系与不等式-.docx

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课时提升作业(三十二)
不等关系与不等式
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2021·济南模拟)已知a,b为非零实数,且a<b,则下列不等式确定成立的
是(　　)
A.a2<b2　　　　　　　 B.ab2>a2b
C.1ab2<1a2b D.ba<ab
【解析】选C.若a<b<0,则a2>b2,故A错;若0<a<b,则ba>ab,故D错;若ab<0,即a<0,b>0,则a2b>ab2,故B错.
2.(2021·福州模拟)已知0<a<b<1,则(　　)
A.1b>1a B.12a<12b
C.lga2<lgb2 D.1lga>1lgb
【解题提示】利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出.
【解析】选D.由于0<a<b<1,所以1b-1a=a-bab<0,可得1b<1a;12a>12b;(lga)2>(lgb)2;
lga<lgb<0,可得1lga>1lgb.
综上可知,只有D正确.
【加固训练】(2021·富阳模拟)假如a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不愿定成立的是(　　)
A.ab>ac B.bc>ac
C.cb2<ab2 D.ac(a-c)<0
【解析】选C.由于c<b<a,且ac<0,所以a>0,c<0.
所以ab-ac=a(b-c)>0,bc-ac=(b-a)c>0,ac(a-c)<0,所以A,B,D均正确.
由于b可能等于0,也可能不等于0.所以cb2<ab2不愿定成立.
3.某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,假如每种邮票至少买两套,则买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式表示
为(　　)
A.x≥2,x∈N,y≥2,y∈N,0.8×5x+2×4y≤50 B.x≤2,y≤2,0.8×5x+2×4y≤50
C.x≥2,y≥2 D.0.8×5x+2×4y≤50
【解析】选A.依据题意直接列出相应的不等式,组成不等式组即可.
4.若a>b>c,a+b+c=0,下列不等式恒成立的是(　　)
A.ac>bc B.ab>ac
C.a|b|>c|b| D.a2>b2>c2
【解析】选B.由a>b>c,a+b+c=0,得a>0,c<0,
由于b>c,所以ab>ac.
5.若-π2<α<β<π2,则α-β确定不属于的区间是(　　)
A.(-π,π) B.-π2,π2
C.(0,π) D.(-π,0)
【解题提示】由-π2<α<β<π2可得-π2<-β<π2,从而有-π<α-β<0.
【解析】选C.由于-π2<α<β<π2,所以-π2<-β<π2,所以-π<α-β<0,
结合选项可知选项C确定不行能,故选C.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2021·蚌埠模拟)已知a+b>0,则ab2+ba2与1a+1b的大小关系是　　　　.
【解析】ab2+ba2-1a+1b=a-bb2+b-aa2
=(a-b)1b2-1a2=(a+b)(a-b)2a2b2.
由于a+b>0,(a-b)2≥0,
所以(a+b)(a-b)2a2b2≥0,所以ab2+ba2≥1a+1b.
答案:ab2+ba2≥1a+1b
7.(2021·临沂模拟)用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,要求菜园的面积不小于216m2,靠墙的一边长为xm,其中的不等关系可用不等式(组)表示为　　　　.
【解析】矩形的另一边长为12(30-x)=15-12x,矩形面积为x15-12x且0<x<18,则不等式组为x15-12x≥216,0<x<18.
答案:x15-12x≥216,0<x<18
8.已知f(x)=ax2+b,若1≤f(1)≤2,2≤f(2)≤3,则f(3)的范围为　　　　　　　　.
【解析】令f(3)=9a+b=m(a+b)+n(4a+b)=(m+4n)a+(m+n)b,则m+4n=9,m+n=1,解得m=-53,n=83.
即f(3)=-53(a+b)+83(4a+b).
由于1≤a+b≤2,2≤4a+b≤3,
所以2≤f(3)≤193,即f(3)的范围是2,193.
答案:2,193
【一题多解】本题还可有以下解法:
奇异换元:令a+b=x,4a+b=y,
则a=y-x3,b=4x-y3,1≤x≤2,2≤y≤3.
由于f(3)=9a+b=8y-5x3,6≤8y-5x≤19,
所以2≤f(3)≤193,即f(3)的范围是2,193.
【加固训练】(2021·盐城模拟)若-1<a+b<3,2<a-b<4,则2a+3b的取值范围为　　　　.
【解析】设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),则
x+y=2x-y=3,解得x=52y=-12.
又由于-52<52(a+b)<152,-2<-12(a-b)<-1,
所以-92<52(a+b)-12(a-b)<132,
即-92<2a+3b<132
答案:-92,132
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.若a>b>0,c<d<0, e<0.求证:e(a-c)2>e(b-d)2.
【证明】由于c<d<0,所以-c>-d>0.
又由于a>b>0,所以a-c>b-d>0.
所以(a-c)2>(b-d)2>0.
所以0<1(a-c)2<1(b-d)2.
又由于e<0,所以e(a-c)2>e(b-d)2.
10.三个正数a,b,c满足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,求ba的取值范围.
【解析】由于a>0,故两个不等式同时除以a,
得1≤ba+ca≤2,ba≤1+ca≤2ba,即1≤ba+ca≤2,①-2ba≤-1-ca≤-ba,②
①+②,得1-2ba≤ba-1≤2-ba,
解之得23≤ba≤32.
(20分钟　40分)
1.(5分)(2021·合肥模拟)已知a,b为实数,则“a>b>1”是“1a-1<1b-1”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由a>b>1⇒a-1>b-1>0⇒1a-1<1b-1,
当a=0,b=2时,1a-1<1b-1,但a>b>1不成立,
所以1a-1<1b-1a>b>1,故选A.
2.(5分)(2021·烟台模拟)已知-1<a<0,A=1+a2,B=1-a2,C=11+a,比较A,B,C的大小结果为(　　)
A.A<B<C B.B<A<C
C.A<C<B D.B<C<A
【解析】选B.方法一:不妨设a=-12,则A=54,B=34,C=2,由此得B<A<C,选B.
方法二:由-1<a<0得1+a>0,
A-B=(1+a2)-(1-a2)=2a2>0得A>B,
C-A=11+a-(1+a2)=-a(a2+a+1)1+a
=-aa+122+341+a>0,得C>A,所以B<A<C.
3.(5分)(2021·漳州模拟)已知下列结论:
①若a>|b|,则a2>b2;②若a>b,则1a<1b;
③若a>b,则a3>b3;④若a<0,-1<b<0,则ab2>a.
其中正确的是　　　　(只填序号即可).
【解析】对于①,由于a>|b|≥0,所以a2>b2,即①正确;
对于②,当a=2,b=-1时,明显不正确;
对于③,明显正确;对于④,由于a<0,-1<b<0,
ab2-a=a(b2-1)>0,所以ab2>a,即④正确.
答案:①③④
4.(12分)已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)=0,且a>b>c,求ca的取值范围.
【解题提示】用a+c把b表示出来代入a>b>c,利用放缩法求解.
【解析】由于f(1)=0,所以a+b+c=0,
所以b=-(a+c).又a>b>c,
所以a>-(a+c)>c,且a>0,c<0,
所以1>-a+ca>ca,即1>-1-ca>ca,
所以2ca<-1,ca>-2,解得-2<ca<-12.
5.(13分)(力气挑战题)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优待”,乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优待”.这两车队的原价、车型都是一样的,试依据单位的人数,比较两车队的收费哪家更优待.
【解析】设该单位职工有n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,
则y1=x+34x·(n-1)=14x+34nx,y2=45nx.
由于y1-y2=14x+34nx-45nx
=14x-120nx=14x1-n5,
当n=5时,y1=y2;
当n>5时,y1<y2;
当n<5时,y1>y2.
因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优待;少于5人时,选乙车队更优待.

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