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第一章测试
(时间：120分钟 总分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．正方体的表面积是96，则正方体的体积为( )
A．48 B．16
C．64 D．96
答案 C
2．直径为10 cm的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2 cm的小球，假如不计损耗，可铸成这样的小球的个数为( )
A．5 B．15
C．25 D．125
解析 设可铸n个小球，依体积相等，得π×53＝n×π×13，∴n＝125.
答案 D
3．将一个等腰梯形围着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )
A．一个圆台，两个圆锥 B．两个圆台，一个圆锥
C．两个圆台，一个圆柱 D．一个圆柱，两个圆锥
答案 D
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )
解析 由三视图知，原几何体是由一个圆柱和一个圆台组成的，因此选D.
答案 D
5．如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图(斜二测)，若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝1，则梯形ABCD的面积是( )
A．10 B．5
C．5 D．10
解析 由直观图，知梯形ABCD是一个直角梯形，且AB＝A1B1＝2，CD＝C1D1＝3，AD＝2A1D1＝2，∴梯形ABCD的面积为×2＝5.
答案 B
6．如图，下列四个几何体中，它们的三视图(正视图、侧视图、俯视图)有且仅有两个相同的是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①④
答案 C
7．向高为H的容器中注水，注满为止，假如注水量V与水深h的函数关系如图所示，那么容器的外形应当是图中的( )
解析 由函数曲线，知水的体积随水深h的增大，体积增长的越来越快．
答案 D
8．一个直角三角形直角边分别为3与4，以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积为( )
A．15π B．20π
C．12π D．15π或20π
答案 D
9．如图是一个几何体的三视图，依据图中数据，可得该几何体的表面积是( )
A．9π B．10π
C．11π D．12π
解析 该几何体的上部是一个球，其表面积是4π×12＝4π；下部是一个圆柱，其表面积是2π×1×3＋2π×12＝8π，则该几何体的表面积是4π＋8π＝12π.
答案 D
10．在棱长为1的正方体上，分别用过公共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( )
A. B.
C. D.
解析 每一个小三棱锥的体积为××××＝.因此，所求的体积为1－8×＝.
答案 D
11．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，这两个球的半径之差为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析 设两个球的半径分别为R、r，且R>r，依题意得
⇒∴R－r＝2.
答案 C
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何的体积为( )
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π
解析 由三视图知，该几何体是一个组合体，其底部是一个半圆柱，上部是一个长方体，故体积为V＝2×2×4＋·π×22×4＝16＋8π.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．如图是一个正方体盒子的平面开放图，在其中的四个正方形内标有数字1,2,3和－3，要在其余正方形内分别填上－1，－2，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则A处应填________．
解析 将其平面开放图沿虚线还原成正方体，由右图，可看出A与2是相对面上的两数，故A处应填－2.
答案 －2
14．过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为________．
解析 从上到下三个圆锥的高之比为1:2:3，∴侧面积之比为1:4:9，∴三部分面积之比为1:3:5.
答案 1:3:5
15．用相同的单位正方体搭一个几何体(如图)，其正视图(从正面看到的图形)、俯视图(从上面看到的图形)和侧视图(从左面看到的图形)分别如下：
则该几何体的体积为________．
解析 由几何体的三视图，知该几何体由6个单位正方体构成．
答案 6
16．已知一个圆台的下底面半径为r，高为h，当圆台的上底半径r′变化时，圆台体积的变化范围是________．
解析 当r′→0时，圆台趋近于圆锥．而V圆锥＝πr2h，当r′→r时，圆台趋近于圆柱，而圆柱V圆柱＝πr2h.因此，当r′变化时，圆台的体积的变化范围是.
答案
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将△ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．
解 几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的，
∵S锥表＝πR2＋πRl＝4π＋8π＝12π，
S柱侧＝2πrl＝2π·DG·FG＝2π，
∴所求几何体的表面积为
S＝S锥表＋S柱侧＝12π＋2π＝2(6＋)π.
18．(12分)一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积．
解 由三视图知正三棱柱的高为2 mm，由侧视图知正三棱柱的底面正三角形的高为2 mm.设底面边长为a，由三角形的面积相等，得a＝2.
∴a＝4.
∴正三棱柱的表面积S＝S侧＋2S底
＝3×4×2＋2××4×2＝8(3＋)(mm)2.
19．(12分)已知圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，母线长为l，试证明圆台的侧面积公式为：S圆台侧面积＝π(r＋R)l，表面积公式为S＝π(R2＋r2＋Rl＋rl)．
证明 把圆台还原成圆锥，并作出轴截面，如图：
设AB＝x，BC＝l，∵△ABF∽△ACG.
∴＝，∴x＝.
∴S圆台侧＝S扇形ACD－S扇形ABE
＝·2πR(x＋l)－·2πr·x
＝πRl＋π(R－r)·
＝π(R＋r)l
∴S圆台表面积＝π(R＋r)l＋πR2＋πr2
＝π(Rl＋rl＋R2＋r2)．
20．(12分)侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱．已知底面是菱形的直棱柱，它的体对角线分别为9和15，高是5，求这个棱柱的侧面积．
解 设底面两条对角线的长分别为a，b，则有a2＋52＝92，b2＋52＝152，∴a＝，b＝10.
∴菱形的边长x＝ ＝8.
∴S侧＝4x×5＝4×8×5＝160.
21．(12分)如图，BD是正方形ABCD的对角线，的圆心是A，半径为AB，正方形ABCD以AB为轴旋转一周，求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比．
解 把题图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分分别绕直线AB旋转所得旋转体体积分别记为VⅠ，VⅡ，VⅢ，并设正方形的边长为a.因此，
VⅠ＝πa2·a＝a3，VⅡ＝·πa3－VⅠ＝a3，
VⅢ＝πa2·a－VⅠ－VⅡ＝a3，
∴VⅠ：VⅡ：VⅢ＝1：1：1.
22．(12分)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)．
(1)试画出它的直观图；
(2)求它的表面积和体积．
解 (1)直观图如图所示．
(2)由三视图可知该几何体是长方体被截取一个角，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的.
在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1，则AA1EB是正方形，
∴AA1＝BE＝1.
在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1，∴BB1＝.
＝1＋2×(1＋2)×1＋1×＋1＋1×2
＝7＋(m2)．
∴几何体的体积V1＝×1×2×1＝(m3)．
∴该几何体的表面积为(7＋) m2，体积为 m3.
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