2021高考数学(文理通用)一轮课时作业18-简单的三角恒等变换.docx

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课时提升作业(十八)
简洁的三角恒等变换
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.(2022·金华模拟)化简sin4α4sin2π4+αtanπ4-α得(　　)
A.sin2α B.cos2α C.sinα D.cosα
【解析】选A.4sin2π4+αtanπ4-α
=4cos2π4-αtanπ4-α
=4cosπ4-αsinπ4-α
=2sinπ2-2α=2cos2α,
所以sin4α4sin2π4+αtanπ4-α=sin4α2cos2α
=2sin2αcos2α2cos2α=sin2α.
2.(2021·台州模拟)在△ABC中,已知tanA+B2=
sinC,则△ABC的外形为(　　)
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选C.在△ABC中,tanA+B2=sinC
=sin(A+B)=2sinA+B2cosA+B2,
所以2cos2A+B2=1,
所以cos(A+B)=0,
从而A+B=π2,△ABC为直角三角形.
3.(2021·嘉兴模拟)已知函数f(x)=sinx+3cosx,设a=fπ7,b=fπ6,c=fπ3,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a<b<c B.c<a<b
C.b<a<c D.b<c<a
【解析】选B.f(x)=sinx+3cosx=2sinx+π3,
由于函数f(x)在0,π6上单调递增,
所以fπ7<fπ6,
而c=fπ3=2sin2π3=2sinπ3=f(0)<fπ7,
所以c<a<b.
4.(2021·浙江高考)函数f(x)=sinxcosx+32cos2x的最小正周期和振幅分别是
(　　)
A.π,1 B.π,2
C.2π,1 D.2π,2
【解析】选A.f(x)=sinxcosx+32cos2x
=12sin2x+32cos2x=sin2x+π3,
所以A=1,T=π.
5.(2021·六安模拟)已知2sinθ=1+cosθ,则tanθ2等于(　　)
A.2 B.12
C.12或不存在 D.不存在
【解析】选C.当1+cosθ=0时,tanθ2不存在.
当1+cosθ≠0时,tanθ2=sinθ2cosθ2=sinθ2·cosθ2cosθ2·cosθ2=2sinθ2·cosθ22cosθ2·cosθ2=sinθ1+cosθ=12.
【加固训练】
计算tanπ4+α·cos2α2cos2π4-α的值为(　　)
A.-2 B.2 C.-1 D.1
【解析】选D.tanπ4+α·cos2α2cos2π4-α
=sinπ4+α·cos2α2sin2π4+αcosπ4+α
=cos2α2sinπ4+αcosπ4+α
=cos2αsin2π4+α=cos2αsinπ2+2α
=cos2αcos2α=1.
6.已知曲线y=2sinx+π4·cosπ4-x与直线y=12相交,若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1,P2,P3,…,则|P1P5→|等于(　　)
A.π B.2π C.3π D.4π
【思路点拨】先化简解析式,再将所求长度转化为周期求解.
【解析】选B.留意到y=2sinx+π4cosπ4-x
=2sin2x+π4=1-cos2x+π4=1+sin2x,又函数y=1+sin2x的最小正周期是
2π2=π,结合函数y=1+sin2x的图象(如图所示)可知,|P1P5→|=2π,选B.

二、填空题(每小题6分,共18分)
7.(2022·舟山模拟)若函数f(x)=sinωx+3cosωx,x∈R,又f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值为3π4,则正数ω的值为　　　　.
【解析】f(x)=sinωx+3cosωx=2sinωx+π3,由于f(α)=-2,f(β)=0,且
|α-β|的最小值为3π4,所以函数f(x)的最小正周期为3π,所以ω=2πT=2π3π=23.
答案:23
8.已知半径为1的半圆,PQRS是半圆的内接矩形,如图,则矩形的面积最大为　　　　.

【解析】连接OP,设∠POS=θ,则OS=OPcosθ,PS=OPsinθ,所以PQRS的面积=2OS·PS=2sinθcosθ=sin2θ.所以当θ=π4时,面积最大,最大值为1.
答案:1

9.(力气挑战题)若函数f(x)=sinωx+cosωx(ω≠0)对任意实数x都有fπ6+x=fπ6-x,则fπ3-πω的值等于　　　　　.
【解析】f(x)=sinωx+cosωx=2sinωx+π4,由题意知,f(x)的图象关于x=π6对称,
所以sinπω6+π4=±1,
得πω6+π4=π2+kπ(k∈Z),
即πω6=π4+kπ(k∈Z).
故fπ3-πω=2sinωπ3-πω+π4
=2sinπω3-3π4
=2sinπ2+2kπ-3π4
=2sin-π4+2kπ
=-2×22=-1.
答案:-1
三、解答题(10～11题各15分,12题16分)
10.(1)化简:4cos4x-2cos2x-1tanπ4+xsin2π4-x.
(2)化简:[2sin50°+sin10°(1+3tan10°)]·2sin280°.
【解析】(1)原式=(1+cos2x)2-2cos2x-1tanπ4+xcos2π4+x
=cos22xsinπ4+xcosπ4+x=2cos22xsinπ2+2x
=2cos22xcos2x=2cos2x.
(2)原式=2sin50°+sin10°·cos10°+3sin10°cos10°·2·sin80°
=2sin50°+2sin10°·12cos10°+32sin10°cos10°·
2cos10°
=22[sin50°·cos10°+sin10°·cos(60°-10°)]
=22sin(50°+10°)=22×32=6.
11.(2022·绍兴模拟)已知函数f(x)=3cos2ωx2+32sinωx-32(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,点A为图象的最高点,B,C为图象与x轴的交点,且三角形ABC的面积为34π.

(1)求ω的值及函数f(x)的值域.
(2)若f(x0)=453,x0∈π12,π3,求fx0+π6的值.
【解析】(1)f(x)=3·1+cosωx2+32sinωx-32
=312sinωx+32cosωx
=3sinωx+π3,
又S△ABC=123|BC|=34π,|BC|=π2=πω,
则ω=2.
则f(x)=3sin2x+π3,值域是[-3,3].
(2)由f(x0)=453得sin2x0+π3=45,
由于π12<x0<π3,所以π2<2x0+π3<π,
得cos2x0+π3=-35,
则fx0+π6=3sin2x0+π6+π3
=3sin2x0+π3cosπ3+cos2x0+π3sinπ3
=43-910.
12.(力气挑战题)已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)求f(x)的单调区间.
(3)若x∈0,π2,求f(x)的最大值及最小值.
【解析】(1)f(x)=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x
=cos2x-sin2x=2cos2x+π4,
所以最小正周期T=2π2=π.
(2)由2kπ-π≤2x+π4≤2kπ,k∈Z,
得kπ-58π≤x≤kπ-π8,k∈Z,
所以函数f(x)的单调增区间为
kπ-58π,kπ-18π(k∈Z).
由2kπ≤2x+π4≤2kπ+π,k∈Z.
得kπ-18π≤x≤kπ+38π,k∈Z,
所以函数f(x)的单调减区间为
kπ-18π,kπ+38π(k∈Z).
(3)由于0≤x≤π2,所以π4≤2x+π4≤5π4,
所以-1≤cos2x+π4≤22,
所以-2≤f(x)≤1.
所以当x=0时,f(x)有最大值为1,
当x=38π时,f(x)有最小值为-2.
【误区警示】解决本题易求错f(x)的范围而导致错解.
【加固训练】已知函数f(x)=cos2ωx-3sinωx·cosωx(ω>0)的最小正周期是π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心.
(2)若A为锐角三角形ABC的内角,求f(A)的取值范围.
【解析】(1)依题意,得f(x)=1+cos2ωx2-32sin2ωx
=cos2ωx+π3+12,
由于T=2π2ω=π,所以ω=1.
所以f(x)=cos2x+π3+12,
由-π+2kπ≤2x+π3≤2kπ,k∈Z,得
-2π3+kπ≤x≤-π6+kπ,k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为
-2π3+kπ,-π6+kπ,k∈Z.
令2x+π3=π2+kπ,k∈Z,
所以x=π12+kπ2,k∈Z.
所以对称中心为π12+kπ2,12,k∈Z.
(2)依题意,得0<A<π2,
所以π3<2A+π3<4π3,
所以-1≤cos2A+π3<12,
所以-12≤cos2A+π3+12<1,
所以f(A)的取值范围为-12,1.
【加固训练】1.(2021·宁波模拟)已知函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=5π3,则函数g(x)=asinx+cosx的最大值是(　　)
A.223 B.233
C.43 D.263
【解析】选B.由题意得f(0)=f10π3,
所以a=-32-a2.
所以a=-33,g(x)=-33sinx+cosx
=233sinx+2π3,
所以g(x)max=233.
2.若f(x)=2tanx-2sin2x2-1sinx2cosx2,则fπ12的值为(　　)
A.-433 B.8
C.43 D.-43
【解析】选B.f(x)=2tanx+1-2sin2x212sinx=2tanx+2cosxsinx=2sinxcosx=4sin2x,
所以fπ12=4sinπ6=8.
3.(2021·江西高考)设f(x)=3sin3x+cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是　　　　.
【解析】f(x)=2sin3x+π6,其最大值为2,
所以a≥2.
答案:a≥2
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