陕西省西安交大附中2021届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案.docx

交大附中2022～2021学年第一学期
高三数学（理）期中考试试题
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，，则
A． B．
C． D．
2. 已知，为虚数单位，且，则的值为
A． B． C． D．
3. 函数是
A．奇函数且在上单调递增 B．奇函数且在上单调递增
C．偶函数且在上单调递增 D．偶函数且在上单调递增
4.下列有关命题说法正确的是
A. 命题：“”，则是真命题
B．的必要不充分条件
C．命题的否定是：“”
D．“”是“上为增函数”的充要条件
5．若变量满足约束条件，，则取最小值时，二项开放式中的常数项为
A． B． C． D．
6. 若，则=
A． 0 B． C． 3 D． 2
7．已知，二次三项式对于一切实数恒成立．又，使成立，则的最小值为
A．1 B． C． D．2
8．已知正方体的棱长为，动点在正方体表面上且满足,则动点的轨迹长度为
A． B． 　 C． D．
9．过点作斜率为(≠0)的直线与双曲线交于两点，线段的中点为，为坐标原点，的斜率为，则等于
A． B． C． D．
10．在区间 上随机取两个数，则的概率是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题卡的相应位置．
分数
0.01
频率
组距
90
100
80
70
60
0.02
0.03
0.04

0
11．已知向量，，若向量，则实数的值是 .
12．某校高三班级的同学共1000人，一次测验成果的分布直方图如右图所示，现要按右图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解状况，则80~90分数段应抽取 人．
13．已知直线与圆相切，若，，则的最小值为 ．
14．已知，函数若函数在上的最大值比最小值大，则的值为 ．
15．选考题（请考生在A、B、C三题中任选一题作答，假如全选，则按A题结果计分）
A. 已知函数，．若不等式的解集为R，则 的取值范围是 ．
B. 在直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为(为参数，)，则C1与C2有 个不同公共点．
C．已知C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于A点，若AB＝AC，则 ．
二、解答题：本大题共6小题，共75分。写出具体的解答或证明过程
16．（本小题满分12分）已知函数（其中，，）的最大值为2，最小正周期为.
（Ⅰ）求函数的解析式及函数的增区间；
（Ⅱ）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求△ 的面积.
17．（本小题满分12分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活状况进行争辩，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，假如生物不成活，则称该次试验是失败的．
　（Ⅰ）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；
　（Ⅱ）假如乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；
　（Ⅲ）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为，求的期望．
18．（本小题满分12分）已知数列的前项和（其中为常数），
且， ．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱中，△是边长为的等边三角形，平面，，分别是，的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切为时，求平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值．
20．（本小题满分13分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点．
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由．
21．（本小题满分14分）已知二次函数，关于的不等式的解集为，（），设.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）R如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；
（Ⅲ）若，且，求证：N.

参考答案：
一．DDCDA,DDBBC
二．11．-3； 12．20 ；13. 3；14．或.；15．A． ；B ．1个；C． ；
三．解答题
16. 解：（Ⅰ）. . ∴. 增区间.
（Ⅱ）.
△的面积为.
17. 解：（Ⅰ）
（Ⅱ）乙小组在第4次成功前，共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，其中各种可能的状况种数,
因此所求的概率=
（3）由题意的取值为0,1,2,3,4

+

0
1
2
3
4
P

故的分布列为

18. 解：（Ⅰ）当时，
则
，
19. 解1：（Ⅰ）略
（Ⅱ）略解平面. 为与平面所成的角，
由，. ，
由当最短时， 的值最大， ∴当时，
.∴.
由为平面 与平面所成二面角（锐角）. .
∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.
解2：由 ..
建立空间直角坐标系.
则，，，.
∴，，.
设平面的法向量为，
由，，平面的一个法向量为. ∵平面， ∴是平面的一个法向量.
∴.
20.（Ⅰ）解：设椭圆的方程为,
椭圆的方程为.
（Ⅱ）解1（由题意，即求P的轨迹方程与椭圆的交点的个数）：
设点,，由三点共线,. ,. ① 由抛物线在点处的切线的方程为
，即. ②
同理，抛物线在点处的切线的方程为 . ③
设点，由②③得：，而，则 . 代入②得 ，则，代入 ① 得 ，
即点的轨迹方程为.若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，经过椭圆内一点,∴直线与椭圆交于两点.即：满足条件 的点有两个.
或：设点,，，
在点处的切线的方程为，即.
∵， ∴ .∵点在切线上, ∴.①
同理， . ② 综合①、②得，点的坐标都满足方程.∵经过的直线是唯一的，
∴直线的方程为， ∵点在直线上，
即点的轨迹方程为.
若 ，则点在椭圆上，又在直线上，
∵直线经过椭圆内一点,~~~
解2： 由在点处的切线的方程为.
在点处的切线的方程为.
由解得 ∴.
∵,∴点在椭圆上.
∴.化简得.(*)
由, 可得方程(*)有两个不等的实数根.
∴满足条件的点有两个.
21. （Ⅰ）解：∵关于的不等式的解集为，
等价于的解为，
∴. ∴.
（Ⅱ）解:由（Ⅰ）得.
∴的定义域为.由.
由题意，函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点，且至少有一个零点在上. 令,
得, (*)
则,(**)
方程（*）的两个实根为, .
①当时，，方程（*）的两个实根为
则函数在上单调递减，在上单调递增.∴函数有微小值点.
②当时，由,得或，
若，则
故时，，∴函数在上单调递增. 函数没有极值点.
若时，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
∴函数有微小值点，有极大值点.
综上所述, 当时，取任意实数, 函数有微小值点；
当时，，函数有微小值点，有极大值点.
(其中, )
（Ⅲ）证法1：∵， ∴.
∴
.
令，∵，

.
∴，即.
证法2：用数学归纳法证明不等式.
① 当时，左边，右边，不等式成立；
② 假设当N时，不等式成立，即，
则

.
也就是说，当时，不等式也成立. 由①②可得，对N，