陕西省西安交大附中2021届高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含答案.docx

交大附中2022～2021学年第一学期
高三数学（文）期中考试试题

第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，，则
A． B．
C． D．
2. 已知，为虚数单位，且，则的值为
A． B． C． D．
3. 函数是
A．奇函数且在上单调递增 B．奇函数且在上单调递增
C．偶函数且在上单调递增 D．偶函数且在上单调递增
4.下列有关命题说法正确的是
A. 命题：“”，则是真命题
B．的必要不充分条件
C．命题的否定是：“”
D．“”是“上为增函数”的充要条件
5．已知函数是奇函数，则的值等于
A. B. C． D. 4
开头
x= -1
否

结束

输出x
是
第6题图
6．执行如图所示的程序，若输出的结果是4，则推断框内实数的值可以是
A. 1 B. 2 C．3 D. 4
7．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为
A． 3 B．2 C．1 D．
8．已知，二次函数有且仅有一个零点，则的最小值为
A．1 B． C． D．2
9．已知正方体的棱长为，动点在正方体表面上且满足,则动点的轨迹长度为
A． B． 　 C． D．
10．过点作斜率为(≠0)的直线与双曲线交于两点，线段的中点为，为坐标原点，的斜率为，则等于
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题卡的相应位置．
分数
0.01
频率
组距
90
100
80
70
60
0.02
0.03
0.04

0
11．若实数x，y满足则的最大值为_____
12．已知向量，，若向量，则实数的值是 .
13．某校高三班级的同学共1000人，一次测验成果的分布直方图如右图所示，现要按右图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解状况，则80~90分数段应抽取 人．
14．已知直线与圆相切，若，，则的最小值为 ．
15．选考题（请考生在A、B、C三题中任选一题作答，假如全选，则按A题结果计分）
A. 已知函数，．若不等式的解集为R，则 的取值范围是 ．
B. 在直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为(为参数，)，则C1与C2有 个不同公共点．
C．已知C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于A点，若AB＝AC，则 ．
二、解答题：本大题共6小题，共75分。写出具体的解答或证明过程
16．（本小题满分12分）已知函数（其中，，）的最大值为2，最小正周期为.
（Ⅰ）求函数的解析式及函数的增区间；
（Ⅱ）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求△ 的面积.
17．（本小题满分12分）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.
（Ⅰ）依据茎叶图推断哪个班的平均身高较高；
（Ⅱ）计算甲班的样本方差；
（Ⅲ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.
18．（本小题满分12分）已知数列的前项和（其中为常数），
且， ．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱中，△是边长为的等边三角形，平面，，分别是，的中点.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）若到的距离为 ，求正三棱柱的体积．
20．（本小题满分15分）已知二次函数，关于的不等式的解集为，（），设.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数的一个极值点是，求的值域；
（Ⅲ）若函数存在三个极值点，求的取值范围.
21．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点．
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由．

文答案：
一．DDCDB, BADBB
二．11．9； 12．-3 ；13. 20；14．3；15．A． ；B ．1个；C． ；
三．解答题
16. 解：（Ⅰ）. . ∴. 增区间.
（Ⅱ）.△的面积为.
17. 解：（Ⅰ）乙班平均身高高于甲班;（Ⅱ） 甲班的样本方差为57
（Ⅲ）设身高为176cm的同学被抽中的大事为A；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：①181：173，176，178，179
②179：173，176，178 ③178：173, 176 ④176：173
共10个基本大事，而大事A含有4个基本大事；
18. 解：（Ⅰ）当时，
则
，
19. 解1：（Ⅰ）略
（Ⅱ），
20. （Ⅰ）解：∵关于的不等式的解集为，
等价于的解集为，
∴. ∴.
（Ⅱ）解:由（Ⅰ）得.
由值域
（Ⅲ）由
由题意，函数存在三个极值点等价于函数有三个不等的零点，
由，设
时，存在三个极值点.
21.（Ⅰ）解：设椭圆的方程为,
椭圆的方程为.
（Ⅱ）解1（由题意，即求P的轨迹方程与椭圆的交点的个数）：
设点,，由三点共线,. ,. ① 由抛物线在点处的切线的方程为
，即. ②
同理，抛物线在点处的切线的方程为 . ③
设点，由②③得：，而，则 . 代入②得 ，则，代入 ① 得 ，
即点的轨迹方程为.若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，经过椭圆内一点,∴直线与椭圆交于两点.即：满足条件 的点有两个.
或：设点,，，
在点处的切线的方程为，即.
∵， ∴ .∵点在切线上, ∴.①
同理， . ② 综合①、②得，点的坐标都满足方程.∵经过的直线是唯一的，
∴直线的方程为， ∵点在直线上，
即点的轨迹方程为.
若 ，则点在椭圆上，又在直线上，
∵直线经过椭圆内一点,~~~
解2： 由在点处的切线的方程为.
在点处的切线的方程为.
由解得 ∴.
∵,∴点在椭圆上.
∴.化简得.(*)
由, 可得方程(*)有两个不等的实数根.
∴满足条件的点有两个.