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专题六 概率与统计
第1讲 统计与概率的基本问题
一、选择题
1．(2022·成都诊断)从8名女生和4名男生中，抽取3名同学参与某档电视节目，假如按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为 ( )．
A．224 B.112
C．56 D.28
解析 依据分层抽样，应抽取男生1名，女生2名，抽取2名女生1名男生的方法有CC＝112.
答案 B
2．(2022·北京顺义区统练)某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为 ( )．
A．8万元 B.10万元
C．12万元 D.15万元
解析 由频率分布直方图知，9时至10时的销售额的频率为0.1，故销售总额为＝30(万元)，又11时至12时的销售额的频率为0.4，故销售额为0.4×30＝12万元．
答案 C
3．(2022·日照模拟)已知三点A(2,1)，B(1，－2)，C，动点P(a，b)满足0≤·≤2，且0≤·≤2，则点P到点C的距离小于的概率为( )．
A. B．1－ C. D．1－
解析 动点P(a，b)满足的不等式组为
画出可行域可知P在以C为中心且边长为的正方形及内部运动，而点P到点C的距离小于的区域是以C为圆心且半径为的圆的内部，所以概率P＝＝.
答案 A
4．(2022·成都二诊)某市环保部门预备对分布在该市的A，B，C，D，E，F，G，H等8个不同监测点的环境监测设备进行检测维护，要求在一周内的星期一至星期五检测维护完全部监测点的设备，且每天至少去一个监测点进行检测维护，其中A，B两个监测点分别支配在星期一和星期二，C，D，E三个监测点必需支配在同一天，F监测点不能支配在星期五，则不同的支配方法种数为( )．
A．36 B．40
C．48 D．60
解析 当星期一或星期二维护2个检测点时，若支配F，有CA种；若担忧排F，有CCCA种．当星期三或星期四维护2个检测点时，若含有F，有CCA种；若不含有F，有C种．当星期五维护2个时，有A种；当星期一或星期二维护4个时，有CCA种；当星期三或星期四维护4个时，有C(A＋2)种；当星期五维护4个时，有CA种，综上，共有CA＋CCCA＋CCA＋C＋A＋CCA＋C(A＋2)＋CA＝60种，故选D.
答案 D
二、填空题
5．(2022·广东卷)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．
解析 十个数中任取七个不同的数共有C种状况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C种状况，于是所求概率P＝＝.
答案
6．(2022·成都三诊)图1是某地区参与2022年高考的同学身高的条形统计图，从左至右的各条形图表示的同学人数依次记为A1，A2，A3，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的同学人数)．图2是图1中统计身高在肯定范围内同学人数的一个算法流程图．现要统计身高在[160,180)内的同学人数，那么流程图中推断框内整数k的值为________．
解析 依题意，留意到身高在[160,180)内的同学属于第4组到第7组，因此结合题中的程序框图得知，流程图中推断框内整数k的值是7.
答案 7
7．(2022·青岛质量检测)在试验室进行的一项物理试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能消灭在第一或最终一步，程序B和C在实施时必需相邻，则试验挨次的编排方法共有________种．
解析 设6个程序分别是A，B，C，D，E，F.先将A支配在第一或最终一步，有A种方法；将B和C看作一个元素，它们自身之间有A种方法，与其他程序进行全排列，有A种方法，由分步乘法计数原理得试验挨次的编排方法共有AAA＝96种．
答案 96
8．(2022·德州模拟)在区间[－2,3]上任取一个数a，则函数f(x)＝x3－ax2＋(a＋2)x有极值的概率为________．
解析 区间[－2,3]的长度为5，f′(x)＝x2－2ax＋a＋2.函数f(x)＝x3－ax2＋(a＋2)x有极值等价于f′(x)＝x2－2ax＋a＋2＝0有两个不等实根，即Δ＝4a2－4(a＋2)＞0，解得a＜－1或a＞2，又∵a∈[－2,3]，∴－2≤a＜－1或2＜a≤2，范围区间的长度为2，所以所求概率P＝.
答案
三、解答题
9．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.
(1)依据茎叶图计算样本均值；
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．依据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
解 (1)样本平均值为＝＝22，故样本均值为22.
(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为＝，
故推断该车间12名工人中有12×＝4名优秀工人．
(3)设大事A：“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”，则P(A)＝＝.
所以恰有1名优秀工人的概率为.
10．袋子中放有大小和外形相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出小球标号为a，其次次取出的小球标号为b.
①记“a＋b＝2”为大事A，求大事A的概率；
②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求大事“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．
解 (1)由题意可得＝＝，解得n＝2.
(2)①由于是不放回抽取，大事A只有两种状况：第一次取0号球，其次次取2号球；第一次取2号球，其次次取0号球，所以P(A)＝＋＝＝.
②记“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”为大事B，则大事B等价于“x2＋y2＞4恒成立”．
(x，y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}．
而大事B构成的区域B＝{(x，y)|x2＋y2＞4，(x，y)∈Ω}，所以P(B)＝＝1－.
11．(2022·广东卷)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.
依据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25,30]
3
0.12
(30,35]
5
0.20
(35,40]
8
0.32
(40,45]
n1
f1
(45,50]
n2
f2
(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
(2)依据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
(3)依据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率．
解 (1)依据已知数据统计出n1＝7，n2＝2；
计算得f1＝＝0.28，f2＝＝0.08.
(2)由于组距为5，用得各组的纵坐标分别为0.024,0.040,0.064,0.056,0.016.
不妨以0.008为纵坐标的一个单位长、5为横坐标的一个单位长画出样本频率分布直方图如下．
(3)依据样本频率分布直方图，以频率估量概率，则在该厂任取1人，其日加工零件数落在区间(30,35]的频率为0.2，估量其概率为0.2.
设所取的4人中，日加工零件数落在区间(30,35]的人数为ξ，则ξ～B(4,0.2)，
P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.2)4＝1－0.409 6＝0.590 4，所以在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,45]的概率为0.590 4.
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