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第四次月考数学理试题
留意事项:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦洁净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第I卷
一、选择题(每小题5分,共计60分)
1、已知集合,集合,则( )
A. B. C. D.
2、若各项均为正数的等比数列满足其前项的和为,则( )
A.31 B. C. D.以上都不对
3、“”是“直线相互平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4、若抛物线的准线的方程是,则实数a的值是( )
A. B. C. 8 D.
5、若定义在上的偶函数是上的递增函数,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
6、计算=( )
A. B. C. D.
7、某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是( )
A.
8、将函数的图象按向量平移后,得到函数的图象,则函数的解析式为( )
9、已知不等式组表示的平面区域恰好被圆C:所掩盖,则实数k的值是( )
A. 3 B.4 C.5 D.6
10、直线l:与曲线相交于A、B两点,则直线l倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
11、设则ab的取值范围是( )
12、已知函数若关于x的方程有且仅有一个实数解,则实数的取值范围是( )
二、填空题(每小题5分,共计20分)
13、函数在点处的切线的斜率是 .
14、数列的前项的和 .
15、在下列给出的命题中,全部正确命题的序号为 .
函数的图象关于点成中心对称;
对若,则;
若实数满足则的最大值为;
若为钝角三角形,则
16、在中,的内心,若
,则动点的轨迹所掩盖的面积为 .
三、解答题(17题10分,其它各题均为12分,共计70分)
17、已知函数
(1)求的值;
(2)求的递减区间.
18、在中,角、B、C的对边分别为a,b,c,且,
(1)求的值;
(2)求的值.
19、已知数列满足
(1)求的值;
(2)是否存在一个实常数,使得数列为等差数列,请说明理由.
20、如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,
E、F分别是PB、CD的中点,且.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)求二面角的余弦值.
21、已知椭圆的两个焦点坐标分别是,并且经过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若斜率为的直线经过点,且与椭圆交于不同的两点,求 面积的最大值.
22、设函数,其中
(1)若,求在上的最值;
(2)若在定义域内既有极大值又有微小值,求实数的取值范围;
(3)当时,令,试证:恒成立.
参考答案
一、(每小题5分,共计60分)
DCABA BDADB CC
二、(每小题5分,共计20分)
13、2;14、;15、①②③;16、.
三、解答题(共计70分,17题10分,其它各题每小题12分)
18、解(1)…2分
又所以由正弦定理得 ,所以,…4分
所以,两边平方得,又
所以而,所以……………………………6分
(2)……………………7分
=…………………………………9分
又,…11分
…………………………………12分
19、解 (1)…………………………4分
(2)假设存在一个实常数,使得数列为等差数列,则
成等差数列,所以,……6分
所以,解之得.……………8分
由于…11分
又,所以存在一个实常数=1,使得数列是首项为,
公差为的等差数列.…12分
20、(1)证明 取的中点连结
,为正三角形,
又
,
平面,同理可证
又平面…4分.
(2)取的中点,连结
且又且
,四边形是平行四边形,而平面
平面平面…………………8分
(3)取的中点过作于点连结
则又平面
是二面角的平面角.
在中,
又∽,.
在中,可求得,
故二面角的余弦值为………………12分.
(注:若(2)、(3)用向量法解题,证线面平行时应说明平面内,否则扣1分;求二面角的余弦值时,若得负值,亦扣1分.)
21、解
(1)设椭圆的标准方程为,有椭圆的定义可得
又
故椭圆的标准方程为…………………………4分.
(2)设直线的方程为,
由 得,依题意,
…………………………6分
设,
则,………………7分
,……………8分
由点到直线的距离公式得,………………9分
……………10分
设
,
当且仅当时,上式取等号,
所以,面积的最大值为…………………12分
22、解
(1)由题意知,的定义域为,
时,由
得…2分
当时,,
,单调递减,当时,单调递增.
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