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第3讲 分类争辩思想
1．分类争辩思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较简洁的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．
2．分类争辩的常见类型
(1)由数学概念引起的分类争辩．有的概念本身是分类的，如确定值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类争辩．有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不全都，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．
(3)由数学运算要求引起的分类争辩．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
(4)由图形的不确定性引起的分类争辩．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．
(5)由参数的变化引起的分类争辩．某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
(6)由实际意义引起的争辩．
3．分类争辩的原则
(1)不重不漏．
(2)标准要统一，层次要分明．
(3)能不分类的要尽量避开或尽量推迟，决不无原则地争辩．
4．解分类问题的步骤
(1)确定分类争辩的对象，即对哪个变量或参数进行分类争辩．
(2)对所争辩的对象进行合理的分类．
(3)逐类争辩，即对各类问题具体争辩，逐步解决．
(4)归纳总结，将各类状况总结归纳.
热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类争辩
例1 (1)(2022·浙江)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
(2)在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，则a1＝________.
答案 (1)a≤ (2)或6
解析 (1)f(x)的图象如图，由图象知，满足f(f(a))≤2时，得f(a)≥－2，而满足f(a)≥－2时，得a≤.
(2)当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，
S3＝3a1＝，明显成立；
当q≠1时，
由题意，得
所以
由①②，得＝3，
即2q2－q－1＝0，
所以q＝－或q＝1(舍去)．
当q＝－时，a1＝＝6.
综上可知，a1＝或a1＝6.
思维升华 (1)由数学概念引起的争辩要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类争辩有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
(1)已知函数f(x)＝满足f(a)＝3，则f(a－5)的值为( )
A．log23 B. C. D．1
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是( )
A．等差数列
B．等比数列
C．等差数列或等比数列
D．以上都不对
答案 (1)C (2)D
解析 (1)分两种状况分析，①或者②，①无解，由②得，a＝7，所以f(a－5)＝22－3＋1＝，故选C.
(2)∵Sn＝pn－1，
∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，
当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列；
当p＝1时，{an}是等差数列；
当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列．
热点二 由图形位置或外形引起的争辩
例2 (1)不等式组表示的平面区域内有________个整点(把横、纵坐标都是整数的点称为整点)．
(2)设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1，F2，若曲线T上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线T的离心率为________．
答案 (1)20 (2)或
解析 (1)画出不等式组表示的平面区域(如图)．
结合图中的可行域可知
x∈[－，2]，y∈[－2,5]．
由图形及不等式组，知
当x＝－1时，1≤y≤2，有2个整点；
当x＝0时，0≤y≤3，有4个整点；
当x＝1时，－1≤y≤4，有6个整点；
当x＝2时，－2≤y≤5，有8个整点；
所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＝20(个)．
(2)不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，若该圆锥曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，
|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝.
所以圆锥曲线T的离心率为或.
思维升华 求解有关几何问题时，由于几何元素的外形、位置变化的不确定性，所以需要依据图形的特征进行分类争辩．
一般由图形的位置或外形变化引发的争辩包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象外形的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的外形变化．
(1)已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于( )
A．－ B.
C．0 D．－或0
(2)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则的值为________．
答案 (1)D (2)2或
解析 (1)不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有直线y＝kx＋1与直线x＝0垂直(如图①)或直线y＝kx＋1与直线y＝2x垂直(如图②)时，平面区域才是直角三角形．
由图形可知斜率k的值为0或－.
(2)若∠PF2F1＝90°，
则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，
解得|PF1|＝，|PF2|＝，
∴＝.
若∠F2PF1＝90°，
则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2
＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，
解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，
∴＝2.综上所述，＝2或.
热点三 由参数引起的分类争辩
例3 已知m∈R，求函数f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m在区间[0,1]上的最大值．
解 (1)当4－3m＝0，即m＝时，函数y＝－2x＋，
它在[0,1]上是减函数，所以ymax＝f(0)＝.
(2)当4－3m≠0，即m≠时，y是关于x的二次函数．
①若4－3m>0，即m<时，二次函数y的图象开口向上，对称轴方程x＝>0，它在[0,1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需争辩区间与对称轴的关系)．
f(0)＝m，f(1)＝2－2m，
当m≥2－2m，又m<，即≤m<时，ymax＝m.
当m<2－2m，又m<，即m<时，ymax＝2(1－m)．
②若4－3m<0，即m>时，二次函数y的图象开口向下，又它的对称轴方程x＝<0，所以函数y在[0,1]上是减函数，于是ymax＝f(0)＝m.
由(1)、(2)可知，这个函数的最大值为
ymax＝
思维升华 一般地，遇到题目中含有参数的问题，经常结合参数的意义及对结果的影响进行分类争辩，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化状况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏．
已知方程mx2＋2y2＝m＋1(m∈R)，对于不同范围的m值，请分别指出方程所表示的图形．
解 (1)当m＝0时，方程为2y2＝1，
即y＝±，图形为两条平行直线；
(2)当m＝－1时，方程为－x2＋2y2＝0，即y＝±x，图形为两条相交直线；
(3)当m≠0且m≠－1时，方程化为＋＝1.
①当m<－1时，>0，<0，图形为焦点在x轴上的双曲线；
②当－1<m<0时，<0，>0，图形为焦点在y轴上的双曲线；
③当0<m<2时，0<<，图形为焦点在x轴上的椭圆；
④当m＝2时，方程为x2＋y2＝，图形为圆心在原点，半径为的圆；
⑤当m>2时，0<<，图形为焦点在y轴上的椭圆．
分类争辩思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类争辩的思维策略解数学问题的操作过程：明确争辩的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行争辩→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析争辩．
常见的分类争辩问题有：
(1)集合：留意集合中空集∅的争辩．
(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a，一般应分a>1和0<a<1的争辩；函数y＝ax2＋bx＋c有时候分a＝0和a≠0的争辩；对称轴位置的争辩；判别式的争辩．
(3)数列：由Sn求an分n＝1和n>1的争辩；等比数列中分公比q＝1和q≠1的争辩．
(4)三角函数：角的象限及函数值范围的争辩．
(5)不等式：解不等式时含参数的争辩，基本不等式相等条件是否满足的争辩．
(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的争辩；
(7)平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b＝0和b≠0的争辩；轨迹方程中含参数时曲线类型及外形的争辩．
(8)去确定值时的争辩及分段函数的争辩等.
真题感悟
1．(2022·课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC等于( )
A．5 B.
C．2 D．1
答案 B
解析 ∵S△ABC＝AB·BC·sin B＝×1×sin B＝，
∴sin B＝，∴B＝或.
当B＝时，依据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2＋2＝5，所以AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；
当B＝时，依据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2－2＝1，所以AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝.
2．(2021·课标全国Ⅱ)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
答案 B
解析 由题意画出图形，如图(1)．
由图可知，直线BC的方程为
x＋y＝1.
由
解得M.
可求N(0，b)，D.
∵直线y＝ax＋b将△ABC分割为面积相等的两部分，
∴S△BDM＝S△ABC.
又S△BOC＝S△ABC，
∴S△CMN＝S△ODN，
即××b＝(1－b)×.
整理得＝.
∴＝，∴－1＝ ，
∴＝ ＋1，
即b＝，可以看出，当a增大时，b也增大．
当a→＋∞时，b→，即b<.
当a→0时，直线y＝ax＋b接近于y＝b.
当y＝b时，如图(2)，
＝＝＝.
∴1－b＝，∴b＝1－.
∴b>1－.
由上分析可知1－<b<，故选B.
押题精练
1．等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值是( )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或
答案 C
解析 当公比q＝1时，a1＝a2＝a3＝7，S3＝3a1＝21，符合要求．
当q≠1时，a1q2＝7，＝21，解之得，q＝－或q＝1(舍去)．
综上可知，q＝1或－.
2．抛物线y2＝4px (p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
答案 C
解析 当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在．事实上，F(p,0)，若设P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝，若＝p，则有x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，当x＝0时，不构成三角形．当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上冲突．所以符合要求的点P一共有4个．
3．已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(4－an)qn－1 (q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)设数列{an}的公差为d，
由已知，得解得
故an＝3－(n－1)＝4－n.
(2)由(1)可得bn＝n·qn－1，
于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.
若q≠1，将上式两边同乘q，得
qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.
两式相减，得(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1
＝nqn－＝.
于是，Sn＝.
若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
综上，Sn＝
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