资源描述
[基础达标]
1．(2022·江西九江一模)命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是( )
A．“若x＜y，则x2＜y2” B．“若x＞y，则x2＞y2”
C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”
解析：选C．依据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
2．(2021·高考山东卷)给定两个命题p、q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A．若綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p但綈p q，其逆否命题为p⇒綈q但綈qp，∴p是綈q的充分不必要条件．
3．(2022·山东潍坊模拟)命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( )
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
解析：选D．原命题明显为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题．
4．(2022·山东聊城期末)设集合A，B是全集U的两个子集，则AB是(∁UA)∪B＝U的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A．如图所示，AB⇒(∁UA)∪B＝U；但(∁UA)∪B＝U⇒AB，如A＝B，因此AB是(∁UA)∪B＝U的充分不必要条件．
5．(2021·高考陕西卷)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C．若|a·b|＝|a||b|，
若a，b中有零向量，明显a∥b；
若a，b均不为零向量，则
|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，
∴|cos〈a，b〉|＝1，
∴〈a，b〉＝π或0，
∴a∥b，即|a·b|＝|a||b|⇒a∥B．
若a∥b，则〈a，b〉＝0或π，
∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b|，
其中，若a，b有零向量也成立，
即a∥b⇒|a·b|＝|a||b|.
综上知，“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件．
6．在命题“若m＞－n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．
解析：原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题．故假命题的个数为3.
答案：3
7．若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得，解得－3≤a＜0，故－3≤a≤0.
答案：[－3，0]
8．有下列几个命题：
①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”错误．
②原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．
③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．
答案：②③
9．(2022·河南开封调研)已知命题p：“若ac≥0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)推断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．
解：(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．
(2)命题p的否命题是真命题．证明如下：
∵ac<0，∴－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
∴该命题是真命题．
10．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝2，q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切；
(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0；
(3)设l，m均为直线，α为平面，其中l⊄α，m⊂α，p：l∥α，q：l∥m.
解：(1)若a＋b＝2，则圆心(a，b)到直线x＋y＝0的距离d＝＝＝r，所以直线与圆相切．
反之，若直线与圆相切，则|a＋b|＝2，
∴a＋b＝±2，
故p是q的充分不必要条件．
(2)若|x|＝x，则x2＋x＝x2＋|x|≥0成立．
反之，若x2＋x≥0，
即x(x＋1)≥0，则x≥0或x≤－1.
当x≤－1时，|x|＝－x≠x，
因此，p是q的充分不必要条件．
(3)∵l∥α l∥m，但l∥m⇒l∥α，
∴p是q的必要不充分条件.
[力气提升]
1．(2022·江西南昌第一次模拟)下列说法中，不正确的是( )
A．点(，0)为函数f(x)＝tan(2x＋)的一个对称中心
B．设回归直线方程为＝2－2.5x，当变量x增加一个单位时，y大约削减2.5个单位
C．命题“在△ABC中，若sin A＝sin B，则△ABC为等腰三角形”的逆否命题为真命题
D．对于命题p：≥0，则綈p：＜0
解析：选D．由f＝tan无意义可知，点为函数f(x)＝tan的一个对称中心，即得命题A正确；由回归直线方程为＝2－2.5x，当变量x增加一个单位时，y大约削减2.5个单位，得命题B正确；命题“在△ABC中，若sin A＝sin B，则△ABC为等腰三角形”是真命题，则其逆否命题也是真命题，得命题C正确；由命题p：“≥0”，则綈p：“＜0或x＝1”得命题D不正确，综上可得错误的命题为D．
2．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
解析：选A．对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是由于x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不愿定有x>1，因此原命题的逆否命题是假命题．
3．下列命题：
①若ac2＞bc2，则a＞b；
②若sin α＝sin β，则α＝β；
③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；
④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．
其中正确命题的序号是________．
解析：对于①，ac2＞bc2，c2＞0，∴a＞b正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2⇒A2C1，所以③正确；④明显正确．
答案：①③④
4．已知集合A＝{x|＜2x＜8，x∈R}，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
解析：A＝{x|＜2x＜8，x∈R}＝{x|－1＜x＜3}，
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴AB，∴m＋1＞3，即m＞2.
答案：(2，＋∞)
5．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若命题“A∩B＝∅”是假命题，求实数m的取值范围．
解：由于“A∩B＝∅”是假命题，所以A∩B≠∅.
设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，
则U＝{m|m≤－1或m≥}．
假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有
⇒⇒m≥.
又集合{m|m≥}关于全集U的补集是{m|m≤－1}，
所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．
6．(选做题)已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
解：y＝x2－x＋1＝＋，
∵x∈，∴≤y≤2，
∴A＝.
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
∴B＝{x|x≥1－m2}．
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A⊆B，∴1－m2≤，
解得m≥或m≤－，
故实数m的取值范围是∪.
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