2021届高考文科数学二轮复习提能专训7-不等式与线性规划.docx

提能专训(七)　不等式与线性规划　
一、选择题
1．(2022·淄博一中模拟)不等式≤0的解集为(　　)
A.∪[1，＋∞)
B.
C.
D.∪[1，＋∞)
答案：C
解析：≤0等价于
即－＜x≤1，所以不等式≤0的解集为， 故选C.
2．(2022·宜春二模)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为(　　)
A．(－2,1)　　　　　　　　　　B．(0,2)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
答案：A
解析：∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，即(x－1)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜1，故选A.
3．(2022·昆明第一次摸底)已知x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最小值为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
答案：B
解析：满足题中所给约束条件的可行域如图：

由图可知，z＝x＋3y经过点时z取最小，且zmin＝＋＝2，故选B.
4．(2022·辽宁三校联考)变量x，y满足约束条件若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是(　　)
A．{－3,0} B．{3，－1}
C．{0,1} D．{－3,0,1}

答案： B
解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．易知直线z＝ax＋y与x－y＝2或3x＋y＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a＝1或－a＝－3，∴a＝－1或a＝3.故选B.
5．(2022·郑州质检二)设实数x，y满足不等式组则x2＋y2的取值范围是(　　)
A．[1,2] B．[1,4]
C．[，2] D．[2,4]
答案：B
命题意图：
本题主要考查线性规划、两点间的距离公式等基础学问，意在考查考生的运算求解力量和数形结合力量．
解析：如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC内部(含边界)，x2＋y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2＋y2的取值范围是[1,4]．
6．(2022·上海奉贤二模)下列命题正确的是(　　)
A．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x＋≥4
B．若a＜0，则a＋≥－4
C．若a＞0，b＞0，则lg a＋lg b≥2
D．若a＜0，b＜0，则＋≥2
答案：D
解析：当sin2 x＝1时，1＋1＝2＜4，所以A错；若a＜0，则a＋≤－4，B错；由于lg a，lg b可以小于零，C错；由a＜0，b＜0，所以，都大于零，D正确．
7．(2022·山东威海一模)函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)＞0的解集为(　　)
A．{x|x＞2或x＜－2} B．{x|－2＜x＜2}
C．{x|x＜0或x＞4} D．{x|0＜x＜4}
答案：C
解析：∵f(x)＝ax2＋(b－2a)x－2b为偶函数，∴b－2a＝0，即b＝2a，∴f(x)＝ax2－4a.∴f′(x)＝2ax.又∵f(x)在(0，＋∞)单调递增，∴a＞0.由f(2－x)＞0，得a(x－2)2－4a＞0，
∵a＞0，∴|x－2|＞2，解得x＞4或x＜0.
8．(2022·四川凉山二诊)设集合An＝{x|(x－1)(x－n2－4＋ln n)＜0}，当n取遍区间(1,3)内的一切实数，全部的集合An的并集是(　　)
A．(1,13－ln 3) B．(1,6)
C．(1，＋∞) D．(1,2)
答案：A
解析：∵n∈(1,3)，∴n2＋4－ln n＞1.
∴An＝{x|(x－1)(x－n2－4＋ln n)＜0}＝{x|1＜x＜n2＋4－ln n}．
令g(n)＝n2＋4－ln n，则g′(n)＝2n－，当n∈(1,3)时，g′(n)＞0，∴g(n)为增函数，且g(n)∈(5,13－ln 3)．
∴A1∪A2∪…∪An＝(1,13－ln 3)．
9．(2022·北京房山期末统考)设a＞0，b＞0.若是3a与32b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．8 B．4 C．1 D.
答案：A
解析：由题意可知，3＝3a32b＝3a＋2b，即a＋2b＝1.由于a＞0，b＞0，所以＋＝(a＋2b)＝＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当＝，即a＝2b＝时取“＝”．
10．(2022·安徽合肥二检)在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是直线2x＋y＝0上任意一点，O为坐标原点，则|＋|的最小值为(　　)
A. B. C. D．1
答案：A
解析：在直线2x＋y＝0上取一点Q′，使得＝，则|＋|＝|＋|＝||≥||≥||，其中P′，B分别为点P，点A在直线2x＋y＝0上的投影，如图：

由于||＝＝，
因此|＋|min＝，故选A.
11．已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为，则a＝(　　)
A. B. C．1 D．2
答案：A
解析：作出不等式组所表示的可行域如下图中阴影部分，联立x＝1与y＝a(x－3)得点A(1，－2a)，作直线l：z＝2x＋y，则z为直线l在y轴上的截距，当直线l经过可行域上的点A(1，－2a)时，直线l在y轴上的截距最小，此时，z取最小值，即zmin＝2×1＋(－2a)＝2－2a＝，解得a＝，故选A.

12．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值是(　　)
A. B．1 C. D．2
答案：B
解析：约束条件确定的区域如图中阴影部分，即△ABC的边与其内部区域，

分析可得函数y＝2x与边界直线x＋y＝3交与点(1,2)．
若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件，
即y＝2x图象上存在点在阴影部分内部，
则必有m≤1，即实数m的最大值为1，
故选B.
13．设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线的距离为，则△AOB的面积S的最小值为(　　)
A. B．2 C．3 D．4
答案：C
解析：由题意知，A，B，O到直线的距离d＝＝，即m2＋n2＝. 由于＝m2＋n2≥2mn，所以mn≤，≥6当且仅当m＝n＝时取等号，此时△AOB的面积为S＝××≥×6＝3，所以△AOB面积的最小值为3，故选C.
14．在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1，设M是底面△ABC内一点，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是三棱锥M－PAB，三棱锥M－PBC，三棱锥M－PCA的体积，若f(M)＝，且＋≥8，则正实数a的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．2 D．4
答案：A
解析：依题意，＋x＋y＝××3×2×1＝1，即x＋y＝，
∴＋＝2(x＋y)
＝2≥2(1＋a＋2)＝2(＋1)2，由题设2(＋1)2≥8，解得a≥1，故正实数a的最小值为1.
二、填空题
15．(2022·济南模拟)设变量x，y满足约束条件则的最大值是________．
答案：2
命题意图：本题主要考查二元一次不等式组的解集和斜率公式，考查线性规划学问．

解析：二元一次不等式组表示的区域如图阴影部分所示，表示阴影部分内一点与原点连线的斜率，在点A，即的交点(2,4)处，取最大值2.
16．(2022·沈阳质量检测)定义运算：xy＝例如：34＝3，(－2) 4＝4，则函数f(x)＝x2(2x－x2)的最大值为________．
答案：4
解析：依题意知，当x2(2x－x2)≥0，即0≤x≤2时，f(x)＝x2的最大值是22＝4；当x2(2x－x2)＜0，即x＜0或x＞2时，f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1＜0.因此，函数f(x)的最大值是4.
17．(2022·皖南八校联考)已知实数x，y满足则z＝的取值范围是________．
答案：
(－∞，1]∪[2＋4，＋∞)
解析：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝＝2＋的取值范围转化为点(x，y)与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为(，1)，则点(1，－1)与(，1)所在直线的斜率为2＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z的取值范围为(－∞，－1]∪[2＋4，＋∞)．
18．(2022·云南第一次检测)已知a＞0，b＞0，方程为x2＋y2－4x＋2y＝0的曲线关于直线ax－by－1＝0对称，则的最小值为________．
答案：7＋4
解析：该曲线表示圆心为(2，－1)的圆，由题意得，直线ax－by－1＝0经过圆心，则2a＋b－1＝0，即2a＋b＝1，所以＝＋＝(2a＋b)＝＋＋7≥2＋7＝7＋4(当且仅当a＝2－，b＝2－3时等号成立)．
19．(2022·江苏南通期末)给出以下三个关于x的不等式：
①x2－4x＋3＜0；②＞1；③2x2＋m2x＋m＜0.
若③的解集非空，且满足③的x至少满足①和②中的一个，则m的取值范围是________．
答案：[－1,0)
解析：由①解得x∈(1,3)，由②解得x∈(－1,2)，则①和②的并集为(－1,3)，依据题意，可得③的解集是(－1,3)的子集，令f(x)＝2x2＋m2x＋m，
则
解得m∈[－1,0)．
20．(2022·北京顺义一模)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为8，则ab的最大值为________．
答案：2
解析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为y＝－x＋，由已知，得－＜0，且纵截距最大时，z取到最大值，故当直线l过点B(2,4)时，目标函数取到最大值，即2a＋4b＝8，因a＞0，b＞0，由基本不等式，得2a＋4b＝8≥4，即ab≤2(当且仅当2a＝4b＝4，即a＝2，b＝1时取“＝”)，故ab的最大值为2.

21．已知正数a，b，c满足a＋b＝ab，a＋b＋c＝abc，则c的取值范围是________．
答案：
解析：由a＋b＝ab，a＋b＋c＝abc，得ab＋c＝abc，则c＝＝>1，又a＋b＝ab≥2，ab≥4，得≤，∴1－≥，∴c≤，
故c∈.
22．设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．
答案：－2
解析：∵a＋b＝2且b>0，∴b＝2－a>0，∴a<2.
当0<a<2时，则有|a|＝a，＋＝＋＝＋＝＋－1，另一方面，2＝(a＋b)＝＋＋＋2＝＋＋≥2＋＝，∴＋≥，∴＋＝＋－1≥－1＝，当且仅当＝，即b＝2a且a＋b＝2时，即当3a＝2时，＋取得最小值，此时a＝，当a<0时，则有|a|＝－a，＋＝－－＝－－＝－－＋1，另一方面2＝(a＋b)＝－－－－2＝－－－≥2－＝2－＝－，当且仅当－＝－时，由于a<0，b>0，即当b＝－2a时，由于a＋b＝2，解得a＝－2，b＝4，上式取等号，∴－－＋1≥－＋1＝，即＋取得最小值.
由于<，故当a＝－2时，＋取最小值．
23．已知不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案：{a|a≥－1}
解析：分别变量a≥＝－22＝t－2t2，上式在x∈[1,2]，y∈[2,3]时恒成立，说明a不能小于右边的最大值．
∴t∈[1,3]，t－2t2∈[－15，－1]，故a≥－1.
24．已知f(x)＝若对任意x∈[－1－a，a－1]，不等式f(x－a)≥(f(x))2恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案：
解析：由题设知，f(x)＝则(f(x))2＝f(2x)，
因此，原不等式等价于f(x－a)≥f(2x)，
∵f(x)在R上是增函数，∴x－a≥2x，
即a≤－(2－)x，
又x∈[－1－a，a－1]，∴当x＝a－1时，－(2－)x取得最小值－(2－)(a－1)，
因此a≤－(2－)(a－1)，解得a≤＝，又a－1>－1－a，∴a>0，故a∈.