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2022—2021学年度第一学期期中考试
高三理科数学试题（A）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分。考试用时120分钟。
第I卷（选择题 共5分）
一、选择题(本大题共10题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合M={0,1,2,3}，N=，则=（ ）
A．{0} B． C． D． {1,2}
2．已知函数，则 ( )
A．1 B．－2 C．2 D．
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4． 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为( )
A． B．4 C． D．6
5．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若
，则（ ）
A． B． C． D．
6．若a，b为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7． 已知函数的图象大致为（ ）
8． 已知锐角满足，,则= （ ）
A． B．π C． 或π D．
9．假照实数满足不等式组，目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．定义域为R的函数,若对任意两个不相等的实数，都有
，则称函数为“H函数”，现给出如下函数：
①②③④
其中为“H函数”的有（ ）
A．①② B．③④ C． ②③ D． ①②③
二、填空题（大题共5题，每小题5，共25分，把答案填写在答题卡中横线上）
11． 已知复数,且是实数，则实数k＝
12． 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2=__________
13． 若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为____
14．已知定义在上的函数满足以下三个条件：①对于任意的，都有 ；②函数的图象关于轴对称；③对于任意的，且
，都有。则从小到大排列是________
15．下列4个命题：
①“假如，则、互为相反数”的逆命题
②“假如，则”的否命题
③在△ABC中，“”是“”的充分不必要条件
④“函数为奇函数”的充要条件是“”
其中真命题的序号是_________
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本小题满分12分）
已知p：函数在上单调递增；q：关于的不等式的解集为R．若为真命题，为假命题，求的取值范围．
17．（本小题满分12分）
函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。
（1）求的值及函数的值域；
（2）若，且，求的值。
18．（本小题满分12分）
在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为且
（1）求∠A；
（2）若，求的取值范围
19．（本小题满分12分）
已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产一千件，需另投入2．7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式
（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？
（注：年利润=年销售收入年总成本）
20．（本小题满分13分）
（1）求的单调区间和极值
（2）若及不等式恒成立，求实数的范围
21．（本小题满分14分）
设是函数的一个极值点．
（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（2）设，若存在，使得成立，求实数的取值范围．
2022—2021学年度第一学期期中考试
高三理科数学试题（A）参考答案
1-5:DBCCC 6-10:DAABC
11．2 12． 13． 14． 15．①②
16．解：若命题为真，由于函数的对称轴为，则
若命题为真，当时原不等式为，明显不成立
当时，则有
由题意知，命题、一真一假
故或
解得或
17．（1）由已知可得：
=3cosωx+
又由于正三角形ABC的高为2，则BC=4
所以，函数
所以，函数。
（2）由于（Ⅰ）有
由x0
所以，
故
18．解（1）由余弦定理有
，
（2）且，
，，（当且仅当时取等号）
方法二、由正弦定理
=
由于，所以
所以即
19．解（1）由题意
（2）①当时，
所以在上单调递增，在上单调递减
故当时W取到最大值38.6
②当时
当且仅当即时取等号
综上，当年产量为9万件时利润最大为万元
20．解：（1）
列表如下：
0
微小值
所以，单调递减区间为，单调递增区间为，微小值是，无极大值.
（2）由（1）可知在上单调递增
所以即对恒成立
所以，解得
21． (本题满分14分)
解：（Ⅰ）∵
∴
由题意得：，即，
∴且
令得，
∵是函数的一个极值点
∴，即
故与的关系式（1）当时，，由得单增区间为：；
由得单减区间为：、；
（2）当时，，由得单增区间为：；
由得单减区间为：、；
（2）由（1）知：当时，，在上单调递增，在上单调递减，，
在上的值域为
易知，在上是增函数
在上的值域为
由于
又要存在存在，使得成立，
必需且只须，解得
所以，实数的取值范围为.
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