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2021－2022学年上期第一次摸底考试
高三数学（理）试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．己知集合，则下列结论正确的是
A． B．3B C． D．
2．己知，其中i为虚数单位，则a＋b=
A．－1 B．1 C．2 D．3
3．设随机变量听从正态分布N（3，4），若，则实数a的值
为
A． B．
C． D．
4．某程序框图如右图所示，则输出的n值是
A． 21 B．22
C．23 D．24
5．己知函数，则函数的零点所在的
区间是
A．（0，1） B．（1，2）
C．（2，3） D．（3，4）
6．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为
A． B．
C． D．
7．若，是第三象限的角，则＝
A． B． C． D．－2
8．已知a＞0，x，y满足约束条件，若z＝2x＋y的最小值为1，a＝
A． B． C．1 D．2
9．已知等差数列的前n项和为，且，若数列在时
为递增数列，则实数的取值范围为
A．（－15，＋）B．[－15，＋） C．[－16，＋） D．（－16，＋）
10．若，则等于
A． B．－l C． D．
11．“a＜0”是“函数在区间上单调递增”的
A．必要不充分条件 B．充要条件
C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件
12．已知一函数满足x＞0时，有，则下列结论确定成立的是
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。）
13．设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为__________．
14．假如双曲线的渐近线与撒物线相切，则双曲线的离心率为__________．
15．已知平行四边形ABCD中，AB＝1，E是BC边上
靠近点B的三等分点，AEBD，则BC长度的取值范围是____________．
16．己知函数，为的等差数列，则＋＋ ＋…＋＝_____________．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分12分）
在ABC中，记角A，B，C的对边为a，b，c，角A为锐角，设向量
，且
（Ⅰ）求角A的大小及向量与的夹角；
（Ⅱ）若，求ABC面积的最大值．
18．（本小题满分12分）
设X为随机变量，从棱长为a的正方体，的八个顶点中任取四个点，
当四点共面时，X＝0；当四点不共面时，X的值为四点组成的四周体的体积．
（Ⅰ）求概率P（X＝0）；
（Ⅱ）求X的分布列，并求其数学期望E（X）．
19．（本小题满分12分）
己知四棱锥P－ABCD，其中底面ABCD为矩
形侧棱PA底面ABCD，其中BC＝2AB＝2PA
＝6，M，N为侧棱PC上的两个三等分点，如
右图所示：
（Ⅰ）求证：AN∥平面MBD；
（Ⅱ）求二面角B－PC－A的余弦值．
20．（本小题满分I2分）
己知曲线与x袖交于A，B两点，点P为x轴上方的一个动点，
点P与A，B连线的斜率之积为－4
（Ⅰ）求动点P的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点B的直线与，分别交于点M ，Q（均异于点A，B），若以MQ为直径的圆经过点A，求AMQ的面积
21．（本小题辅分12分）
已知函数（为常数）
（Ⅰ）当＝l对，求单调区间；
（Ⅱ）若函数在区间（0，1）上无零点，求的最大值
【选做题】
请考生在22、23、24三题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4－l：几何证明选讲
如图，⊙O是ABC的外接圆，D是的中点，BD交
AC于E．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，O到AC的距离为1，求⊙O的半径
r．
23．（本小题满分l0分）选修4—4：坐标系与参数方程
己知抛物线的顶点M到直线l：（t为参数）的距离为1
（Ⅰ）求m：
（Ⅱ）若直线与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于N点，求的值．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
己知长方体的三条棱长分别为a、b、c，其外接球的半径为．
（Ⅰ）求长方体体积的最大值；
（Ⅱ）设，求的最大值
理数答案
答案：DBACB CDBDA DB
13. 4 14. 3 15. （1，3） 16. 100
17．解：（1）
由于角为锐角，所以，……………………………………3分
依据
………………………………………………….6分
(2)由于，，
得：……………………9分
即面积的最大值为……………………………….12分
18.解（1）从正方体的八个顶点中任取四个点,共有种不同取法.
其中共面的状况共有12种(6个侧面,6个对角面).
则P(X=0)=. …………………………………………………4分
（2）任取四个点,当四点不共面时,四周体的体积只有以下两种状况:
①四点在相对面且异面的对角线上,体积为
这样的取法共有2种.……………………………………………6分
②四点中有三个点在一个侧面上,另一个点在相对侧面上,体积为.
这样的取法共有种 ……………………………………………… 8分
X的可能取值是0，，………………………………………………9分
X的分布列为
X
0
数学期望E(X)=.……………………………………………… 12分
19.（1）证明：连结AC交BD于O，连结OM，
∵底面ABCD为矩形，∴O为AC中点，∵M、N为侧棱PC的三等份点，∴CM=CN，
∴OM//AN， ∵OM平面MBD，AN平面MBD，∴AN//平面MBD 4分．
（2）易知为等腰直角三角形,所以BP为外接圆的直径,所以PB=,PA=3
如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，
则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,6,0)，D(0,6,0)，P(0,0,3)，M(2,4,1)，N(1,2,2),
设平面的法向量为,，并且,
，令得,
∴平面MBD的一个法向量为, 6分
设平面法向量为,
同理可得 8分
10分
由图可知,二面角为锐角,
∴二面角的余弦值为
Q
x
P
A
B
O
y
20．解：(1)不妨设点在点左侧，则
设，则
整理得：
所以动点的轨迹C2的方程为
-------5分
没有y的范围扣1分
(2)由(1)知，上半椭圆C2的方程为．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
代入C2的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)
设点M的坐标为(xP，yP)，
∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．
由求根公式，得xM＝，从而yM＝，
∴点M的坐标为. --------------------------------7分
同理，由
得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．
由题意可知AM⊥AQ，且．
∴，即[k－4(k＋2)]＝0，
∵k≠0，
∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.--------------------------------10分
∴
∴
所以的面积为.…………………………12分
答案：
21．解：（Ⅰ）当时，函数，
由得，由得
故的单调递减区间为，单调递增区间为 ……………5分
（Ⅱ）若函数在区间上无零点，则
对，恒成立或者恒成立.
由，得，，
故若，恒成立；
若，，
所以，函数在区间上不行能恒成立，故要使函数在区间上无零点，只要对，恒成立. ……………8分
（后续步骤分为解法一和解法二）
解法一：
，
当，即时，由得，由得，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增；
此时，
构造，，故，
所以当时，，即对，不恒成立，舍去；
…………10分
当，即时，由得，由得，
即在区间上单调递减，故，
满足对，恒成立，
综上，，即的最大值为2.…………12分
解法二：
由对，恒成立可得对，恒成立.
令，
令，由得在区间上单调递增，
即，从而，
即在区间上单调递减，
由罗比达法则知，即，
若对，恒成立，可得，即的最大值为2 …………12分
22.(1)证明：由D为中点知，∠ABD＝∠CBD，
又∵∠ABD＝∠ECD，∴∠CBD＝∠ECD，
又∠CDB＝∠EDC，
∴△BCD～△CED，∴＝，
∴DC2＝DE·DB；…………………………5分
(2)∵D是的中点，∴OD⊥AC，
设OD与AC交于点F，则OF＝1，
在Rt△COF中，OC2＝CF2＋OF2，即CF2＝r2－1，
在Rt△CFD中，DC2＝CF2＋DF2，
∴(2)2＝r2－1＋(r－1)2，解得r＝3. …………………………10分
23.解：（1）M(0，m),直线l的一般方程
M到直线的距离为…………………………4分
(2)直线与抛物线相交于A、B两点，故.
将直线l的一个标准参数方程为代入得
故,=…………………………10分
24. 解(1)由题意可知 ，
由三个正数的基本不等式可得 ，
即 ，所以
长方体体积的最大值;…………………………5分
(2)，依据柯西不等式，有
，
， 当且仅当“”即“”时，
取得最大值12.…………………………10分
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