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高二数学寒假作业（九）
一、 选择题，每小题只有一项是正确的。
1.已知命题P：“对任意”.命题q：“存在”.若“”是真命题，则实数取值范围是（ ）
A. B. 或 C. 或 D.
2.观看下列各式：
则（ ）
A．123 B．76 C．28 D．199
3.已知数列满足：，，若，，且数列的单调递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4.数列，3，，，，…，则9是这个数列的第( )
A．12项 B．13项 C．14项 D．15项
5.若数列{an}对于任意的正整数n满足：an＞0且anan＋1＝n＋1，则称数列{an}为“积增数列”．已知“积增数列”{an}中，a1＝1，数列{a＋a}的前n项和为Sn，则对于任意的正整数n，有( )
A．Sn≤2n2＋3 B．Sn≥n2＋4n C．Sn≤n2＋4n D．Sn≥n2＋3n
6.已知等比数列中，,，则 （ ）
A．49 B．35 C．91 D．112
7.抛物线上一点到直线的距离最短，则该点的坐标是 ( )
A． B． C． D．
8.设抛物线的顶点在原点,准线方程为,则抛物线的方程是 ( )
A． B． C． D．
9.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
若，则k＝ （ ）
A．2 B． 4 C．－2 D．－4
二、填空题
10.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线方程为
11.若向量，则__________________。
12.已知，为两平行平面的法向量，则 。
13.在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为 ▲ .
三、计算题
14.已知椭圆
（1）求椭圆的离心率；
(2)设为原点，若点在直线上，点在椭圆上，且求线段长度的最小值.
15.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值．
16.如图，在四棱锥中，//，，
，平面，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）点为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
高二数学寒假作业（九）参考答案
一、 选择题
1~5 BADCD 6~9CABB
二、填空题
10. ， 11 .118 ,12. (1+x)ex ， ； ,13.
三、计算题
14.
15.（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴，半焦距，则半短轴．
又椭圆的焦点在轴上，∴椭圆的标准方程为．……… 4分
（Ⅱ）当直线垂直于轴时，，因此的面积．
当直线不垂直于轴时，该直线方程为，代入，
解得B（,），C（－,－），
则，又点A到直线的距离，
∴△ABC的面积．
于是．
由，得，其中当时，等号成立．
∴的最大值是． ……… 10分
16.（法一）（Ⅰ）证明：以A为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则
又，平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
（法二）（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，∵CD∥AB，∴OB:OD=OA:OC=AB:CD=2
Rt△DAB中，DA=，AB=4，∴DB=，∴DO=DB=
同理，OA=CA=，∴DO2+OA2=AD2，即∠AOD=90o，∴BD⊥AC
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD
由AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC
（Ⅱ）解：连PO，取PO中点H，连QH，则QH∥BO，由（Ⅰ）知，QH⊥平面PAC
∴∠QCH是直线QC与平面PAC所成的角．
由（Ⅰ）知，QH=BO=，
取OA中点E，则HE=PA=2，又EC=OA+OC=
Rt△HEC中，HC2=HE2+EC2=
∴Rt△QHC中，QC=，∴sin∠QCH=
∴直线与平面所成的角的正弦值为．
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