2021高考数学(福建-理)一轮学案32-数列的综合应用.docx

学案32数列的综合应用导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简洁的实际问题.2.对数列与其他学问综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要留意数列在生产、生活中的应用自主梳理1数列的综合应用数列的综合应用一是指综合运用数列的各种学问和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题解决此类问题应留意数学思想及方法的运用与体会(1)数列是一种特殊的函数，解数列题要留意运用方程与函数的思想与方法(2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，简洁的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题(3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推想出一般性的结论，都是利用此法实现的(4)分类争辩思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行争辩；由Sn求an时，要对_进行分类争辩2数列的实际应用数列的应用问题是中学数学教学与争辩的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型(1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求an还是求Sn.(2)分期付款中的有关规定在分期付款中，每月的利息均按复利计算；在分期付款中规定每期所付款额相同；在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值；各期付款连同在最终一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最终一次付款的利息之和自我检测1(原创题)若Sn是等差数列an的前n项和，且S8S310，则S11的值为 ()A12B18C22D442(2011汕头模拟)在等比数列an中，anan1，且a7a116，a4a145，则等于 ()A.B.CD3若an是首项为1，公比为3的等比数列，把an的每一项都减去2后，得到一个新数列bn，设bn的前n项和为Sn，对于任意的nN*，下列结论正确的是 ()Abn13bn，且Sn(3n1)Bbn13bn2，且Sn(3n1)Cbn13bn4，且Sn(3n1)2nDbn13bn4，且Sn(3n1)2n4“嫦娥奔月，举国庆祝”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分别，则这一过程需要的时间大约是 ()A10秒钟B13秒钟C15秒钟D20秒钟5(2011台州月考)已知数列an的通项为an，则数列an的最大项为 ()A第7项B第8项C第7项或第8项D不存在6(2011南京模拟)设数列an，bn都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列lg an与lg bn的前n项和，且，则logb5a5_.探究点一等差、等比数列的综合问题例1设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列(1)求数列an的通项；(2)令bnln a3n1，n1,2，求数列bn的前n项和Tn.变式迁移1假设a1，a2，a3，a4是一个等差数列，且满足0a14；b432；b2b4256.其中正确命题的个数是 ()A1B2C3D4探究点二数列与方程、函数、不等式的综合问题例2(2011温州月考)已知函数f(x)，数列an满足a11，an1f，nN*，(1)求数列an的通项公式；(2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求Tn；(3)令bn (n2)，b13，Snb1b2bn，若Sn对一切nN*成立，求最小正整数m.变式迁移2已知单调递增的等比数列an满足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，对任意正整数n，Sn(nm)an10)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kN*，a116，则a1a3a5_.8把正整数按确定的规章排成了如图所示的三角形数表设aij (i，jN*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a428.若aij2 009，则i与j的和为_124357681012911131517141618202224三、解答题(共38分)9(12分)(2011湘潭模拟)已知点(1，)是函数f(x)ax(a0，且a1)的图象上一点，等比数列an的前n项和为f(n)c，数列bn(bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足SnSn1(n2)(1)求数列an和bn的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，问满足Tn的最小正整数n是多少？10(12分)沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召，对西部地区乙企业进行扶持性技术改造乙企业的经营现状是：每月收入为45万元，但因设备老化，从下月开头需付设备修理费，第一个月为3万元，以后每月递增2万元甲公司打算投资400万元扶持改造乙企业据猜想，改造后乙企业第一个月收入为16万元，在以后的4个月中，每月收入都比上个月增长50%，而后每个月收入都稳定在第5个月的水平上若设备改造时间可忽视不计，那么从下个月开头至少经过多少个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益？11(14分)(2011广东执信中学模拟)已知函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)且f(1).(1)当nN*时，求f(n)的表达式；(2)设annf(n)，nN*，求证：a1a2a3an1，q2，a11.故数列an的通项为an2n1.(2)由(1)得a3n123n，bnln a3n1ln 23n3nln 2.又bn1bn3ln 2，bn是等差数列，Tnb1b2bnln 2.故Tnln 2.变式迁移1D设a1，a2，a3，a4的公差为d，则a12d4，又0a12，所以1d4，故(2)正确；a4a3d5，所以b42a432，故(3)正确；又a2a42a38，所以b2b42a2a428256，故(4)正确例2解题导引这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项an，观看Tn特点，求出Tn.由an再求bn从而求Sn，最终利用不等式学问求出m.解(1)an1fan，an是以为公差的等差数列又a11，ann.(2)Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1)(a2a4a2n)(2n23n)(3)当n2时，bn，又b13，Snb1b2bn，Sn对一切nN*成立即，又递增，且.，即m2 010.最小正整数m2 010.变式迁移2解(1)设等比数列an的首项为a1，公比为q.依题意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38.a2a420.解之，得或又an单调递增，an2n.(2)bn2nlog2nn2n，Sn12222323n2n.2Sn122223324(n1)2nn2n1.，得Sn222232nn2n1n2n12n1n2n12.由Sn(nm)an10，即2n1n2n12n2n1m2n10对任意正整数n恒成立，m2n122n1对任意正整数n，m1，m1，即m的取值范围是(，1例3解依题意，第1个月月余款为a110 000(120%)10 00020%10%30011 500，第2个月月底余款为a2a1(120%)a120%10%300，依此类推下去，设第n个月月底的余款为an元，第n1个月月底的余款为an1元，则an1an(120%)an20%10%3001.18an300.下面构造一等比数列设1.18，则an1x1.18an1.18x，an11.18an0.18x.0.18x300.x，即1.18.数列an是一个等比数列，公比为1.18，首项a111 500.an1.18n1，a121.1811，a121.181162 396.6(元)，即到年底该职工共有资金62 396.6元纯收入有a1210 000(125%)62 396.612 50049 896.6(元)变式迁移3解(1)设中低价房的面积形成的数列为an，由题意可知an是等差数列，其中a1250，d50，则an250(n1)5050n200，Sn250n5025n2225n，令25n2225n4 750，即n29n1900，而n是正整数，n10.到2022年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米(2)设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1400，q1.08，则bn400(1.08)n1.由题意可知an0.85bn，即50n200400(1.08)n10.85.当n5时，a50.85b6，满足上述不等式的最小正整数n为6.到2022年底，当年建筑的中低价房的面积占该年建筑住房面积的比例首次大于85%.课后练习区1C2.B3.B4.B5.D637.218.1079解(1)f(1)a，f(x)x.(1分)a1f(1)cc，a2f(2)cf(1)c，a3f(3)cf(2)c；又数列an成等比数列，a1c，c1；(2分)公比q，ann12n，nN*；(3分)SnSn1(n2)，(4分)又bn0，0，1.数列构成一个首项为1、公差为1的等差数列，1(n1)1n，Snn2.当n2，bnSnSn1n2(n1)22n1；又当n1时，也适合上式，bn2n1，nN*.(6分)(2)Tn.(10分)由Tn，得n，满足Tn的最小正整数为112.(12分)10解设乙企业仍按现状生产至第n个月所带来的总收益为An(万元)，技术改造后生产至第n个月所带来的总收益为Bn(万元)依题意得An45n35(2n1)43nn2，(4分)当n5时，Bn164(n5)40081n594，(8分)当n5时，BnAnn238n594，令n238n5940，即(n19)2955，解得n12，至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益(12分)11解(1)令xn，y1，得到f(n1)f(n)f(1)f(n)，(2分)f(n)是首项为，公比为的等比数列，即f(n)()n.(5分)(2)记Sna1a2a3an，annf(n)n()n，(6分)Sn2()23()3n()n，Sn()22()33()4(n1)()nn()n1，两式相减得Sn()2()nn()n1，整理得Sn2()n1n()n0；当n9时，bn0；当n9时，bn0，n8或9时，Sn取到最大值(14分)