【全国百强校】东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：坐标系A.docx

坐标系(教案)A一、 学问梳理：(阅读教材:选修4-4第1页至20页)1. 平面直角坐标系(1) 平面直角坐标系的概念:在平面上,当取定两条相互垂直的直线交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系,它使平面上任一点P都可以唯一的实数对(x,y)确定.(2) 平面直角坐标系的伸缩变换设点p(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换:x=x,0y=y,(0) 的作用下,点p(x,y)对应到点p(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2. 极坐标系(1). 极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）(2)、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M，用 r 表示线段OM的长度，用 q 表示从OX到OM 的角度，r 叫做点M的极径， q叫做点M的极角，有序数对（r，q）就叫做M的极坐标。特殊强调：由极径的意义可知r0;当极角q的取值范围是0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（r，q）建立一一对应的关系 .我们商定,极点的极坐标是极径r=0,极角是任意角.(3)、负极径的规定在极坐标系中，极径r允许取负值，极角q也可以取任意的正角或负角当r0时，点M （r，q）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。M(r，q)也可以表示为 (4).直角坐标系与极坐标系互化:直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： 说明1.上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2.通常状况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取0，。3.互化公式的三个前提条件(1). 极点与直角坐标系的原点重合;(2). 极轴与直角坐标系的x轴的非负半轴重合;(3). 两种坐标系的单位长度相同.(5).简洁曲线的极坐标系方程一般地，假如一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程,方程的解为坐标的点都在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。(6).常见的几种圆与直线的极坐标方程圆的极坐标方程:()圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程： =R ；() 圆心在（a，0），半径为a的圆的极坐标方程： =2acos ；() 圆心在（a，2），半径为a的圆的极坐标方程： =2asin ；直线的极坐标方程:()过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程： = ；()过点（a，0）（a0）,且垂直于极轴的直线的极坐标方程：cos=a ；()过点（a，2）（a0），且平行于极轴的直线的极坐标方程： sin=a 。二、题型探究：探究一：平面直角坐标系中的伸缩变换的应用例1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。（1）2x+3y=0; (2) 解: (1)X+y=0; (2) x24+y29=1例2、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线，求曲线C的方程并画出图象。解: 探究二：求动点轨迹的极坐标方程例3：在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，（1）求圆的极坐标方程。（2）若点在圆上运动，在的延长线上，且OP：OQ=3：2，求动点的轨迹方程。解:（1）=6cos(-6) （2）设Q（0，0）P（，），则有0=23 , 0= , =9cos(-6)探究三：极坐标与极坐标方程的应用例4：已知P，Q分别在AOB的两边OA，OB上，AOB=，POQ的面积为8，求PQ中点M的极坐标方程。思路解析：（1）建立以O为极点，OP所在直线为极轴的极坐标系；（2）设点M的极坐标，依POQ的面积建立关系式。解答：建立如图所示极坐标系，设动点M坐标为，P，Q两点坐标分别为则有：例5：如图，点A在直线x=4上移动，OPA为等腰直角三角形，OPA的顶角为OPA（O，P，A依次按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程，并推断轨迹外形。思路解析：建立极坐标系设出点的坐标，依据题意用代入法求解。解答：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x=4的极坐标方程为点A在直线上， OPA为等腰直角三角形，且OPA=，而|OP|=，|OA|=，以及，=，且 把代入得点P的轨迹的极坐标方程为=4得点P的轨迹的一般方程为x+y=4,是过点（4，0）且倾斜角为的直线。四、反思感悟 五、课时作业1、抛物线经过伸缩变换后得到 2、把圆变成椭圆的伸缩变换为 3、在同一坐标系中将直线变成直线的伸缩变换为 4、把曲线的图象经过伸缩变换得到的图象所对应的方程为 5、在极角坐标系中，过点，与极轴垂直的直线的极坐标方程是（C ）A B C D 6、与方程表示同一曲线的是 （ B ）A B C D 7在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线的极坐标方程是 sin=-2 8、在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线方程是 cos=2 9、在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程是cos=-2 10、直线 与圆的位置关系 相交 。11、【2022高考江苏21C】选修4 - 4：坐标系与参数方程 （10分）在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程【答案】解：圆圆心为直线与极轴的交点，在中令，得。 圆的圆心坐标为（1，0）。 圆经过点，圆的半径为。 圆经过极点。圆的极坐标方程为。【考点】直线和圆的极坐标方程。【解析】依据圆圆心为直线与极轴的交点求出的圆心坐标；依据圆经过点求出圆的半径。从而得到圆的极坐标方程。