【全国百强校】东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：坐标系A.docx

坐标系(教案)A
一、 学问梳理：(阅读教材:选修4-4第1页至20页)
1. 平面直角坐标系
(1) 平面直角坐标系的概念:
在平面上,当取定两条相互垂直的直线交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系,它使平面上任一点P都可以唯一的实数对(x,y)确定.
(2) 平面直角坐标系的伸缩变换
设点p(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换∅:x'=λx,λ>0y'=μy,(μ>0) 的作用下,点p(x,y)对应到点p'(x',y'),称∅为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2. 极坐标系
(1). 极坐标系的建立：
在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）
(2)、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用 r 表示线段OM的长度，用 q 表示从OX到OM 的角度，r 叫做点M的极径， q叫做点M的极角，有序数对（r，q）就叫做M的极坐标。
特殊强调：由极径的意义可知r≥0;当极角q的取值范围是[0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（r，q）建立一一对应的关系 .我们商定,极点的极坐标是极径r=0,极角是任意角.
(3)、负极径的规定
在极坐标系中，极径r允许取负值，极角q也可以取任意的正角或负角
当r＜0时，点M （r，q）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。
M(r，q)也可以表示为
(4).直角坐标系与极坐标系互化:直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
{ {
说明1.上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
2.通常状况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，≤≤。
3.互化公式的三个前提条件
(1). 极点与直角坐标系的原点重合;
(2). 极轴与直角坐标系的x轴的非负半轴重合;
(3). 两种坐标系的单位长度相同.
(5).简洁曲线的极坐标系方程
一般地，假如一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程,方程的解为坐标的点都在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
(6).常见的几种圆与直线的极坐标方程
①圆的极坐标方程:
(Ⅰ)圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程： ρ=R ；
(Ⅱ) 圆心在（a，0），半径为a的圆的极坐标方程： ρ=2acosθ ；
(Ⅲ) 圆心在（a，π2），半径为a的圆的极坐标方程： ρ=2asinθ ；
②直线的极坐标方程:
(Ⅰ)过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程： θ=α ；
(Ⅱ)过点（a，0）（a>0）,且垂直于极轴的直线的极坐标方程：ρcosθ=a ；
(Ⅲ)过点（a，π2）（a>0），且平行于极轴的直线的极坐标方程： ρsinθ=a 。
二、题型探究：
探究一：平面直角坐标系中的伸缩变换的应用
例1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。
（1）2x+3y=0; (2)
解: (1)X’+y’=0; (2) x'24+y'29=1
例2、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线，求曲线C的方程并画出图象。

解:
探究二：求动点轨迹的极坐标方程
例3：在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，
（1）求圆的极坐标方程。
（2）若点在圆上运动，在的延长线上，且OP：OQ=3：2，求动点的轨迹方程。
解:（1）ρ=6cos(θ-π6) （2）设Q（ρ0，θ0）P（ρ，θ），则有ρ0=23ρ , θ0=θ , ∴ρ=9cos(θ-π6)
探究三：极坐标与极坐标方程的应用
例4：已知P，Q分别在∠AOB的两边OA，OB上，∠AOB=，⊿POQ的面积为8，求PQ中点M的极坐标方程。
思路解析：（1）建立以O为极点，OP所在直线为极轴的极坐标系；（2）设点M的极坐标，依⊿POQ的面积建立关系式。
解答：建立如图所示极坐标系，设动点M坐标为，P，Q两点坐标分别为

则有：

例5：如图，点A在直线x=4上移动，⊿OPA为等腰直角三角形，⊿OPA的顶角为∠OPA（O，P，A依次按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程，并推断轨迹外形。

思路解析：建立极坐标系设出点的坐标，依据题意用代入法求解。
解答：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x=4的极坐标方程为∵点A在直线上，
∴ ①
∵⊿OPA为等腰直角三角形，且∠OPA=，而|OP|=，|OA|=，以及，
∴=，且 ②
把②代入①得点P的轨迹的极坐标方程为
=4得
∴点P的轨迹的一般方程为x+y=4,是过点（4，0）且倾斜角为的直线。
四、反思感悟

五、课时作业
1、抛物线经过伸缩变换后得到
2、把圆变成椭圆的伸缩变换为
3、在同一坐标系中将直线变成直线的伸缩变换为
4、把曲线的图象经过伸缩变换得到的图象所对应的方程为
5、在极角坐标系中，过点，与极轴垂直的直线的极坐标方程是（C ）
A B C D
6、与方程表示同一曲线的是 （ B ）
A B C D
7在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线的极坐标方程是 ρsinθ=-2
8、在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线方程是 ρcosθ=2
9、在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程是ρcosθ=-2
10、直线 与圆的位置关系 相交 。
11、【2022高考江苏21C】[选修4 - 4：坐标系与参数方程] （10分）在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．
【答案】解：∵圆圆心为直线与极轴的交点，
∴在中令，得。
∴圆的圆心坐标为（1，0）。
∵圆经过点，∴圆的半径为。 ∴圆经过极点。∴圆的极坐标方程为。【考点】直线和圆的极坐标方程。
【解析】依据圆圆心为直线与极轴的交点求出的圆心坐标；依据圆经过点求出圆的半径。从而得到圆的极坐标方程。